5群馬大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)

$a=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$、$b=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}$ である。ド・モアブルの定理から $a^{n}=b^{n}$ となる条件は
$$n\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=2k\pi\quad(k\text{ は整数}),$$
すなわち $n=24k$ である。よって最小の自然数は $24$ である。

(2)

$w=\dfrac{4z+5}{z+2}$ を $z$ について解くと $(w-4)z=5-2w$ である。$w=4$ はこの式を満たさないから、$z=\dfrac{5-2w}{w-4}$ である。$w=x+yi$（$x,\,y$ は実数）とすると、$|z|=1$ は
$$|5-2w|=|w-4| \quad\text{すなわち}\quad (5-2x)^{2}+4y^{2}=(x-4)^{2}+y^{2} \quad\text{すなわち}\quad (x-2)^{2}+y^{2}=1$$
となる。この円上に $w=4$ はないので、円周上の全ての点で逆変換が定義される。したがって $C$ は中心 $2$、半径 1 の円周 $|w-2|=1$ である。

(3)

$u=b^{n}$ とおくと $|u|=1$。与式の絶対値を比較すると、
$$|4u+5|^{2}=|u+2|^{2}.$$
$u$ の実部を $p$ とすると、$|u|=1$ より $|4u+5|^{2}=41+40p$、$|u+2|^{2}=5+4p$ なので、$41+40p=5+4p$。ゆえに $u$ の実部は $-1$ である。単位円上で実部が $-1$ となるのは $u=-1$ のみであり、元の等式の右辺は $\dfrac{4u+5}{u+2}=1$ だから、$a^{n}=1$ も必要となる。従って
$$n\equiv0\pmod 6,\qquad n\equiv4\pmod 8.$$
最小の正の整数は $n=12$ である。実際、$a^{12}=1$、$b^{12}=-1$ なので成立する。