2群馬大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=2^x/3^y$ とおくと、$\log_3u=x\log_3 2-y$ である。指定点では
$$x=\log_5 3,\qquad y=\log_5 10,$$
なので
$$x\log_3 2-y=\log_5 2-\log_5 10=-1.$$
したがって $u=1/3$ である。

(2) $u>0$ を用いると
$$\frac{2^{x+2}}{3^{y-2}}=36u,\qquad \frac{3^y}{2^{x-1}}=\frac2u.$$
よって領域条件は
$$36u+\frac2u\leqq18 \quad\text{すなわち}\quad 18u^2-9u+1\leqq0 \quad\text{すなわち}\quad (6u-1)(3u-1)\leqq0,$$
すなわち $1/6\leqq u\leqq1/3$ である。底3の対数をとると
$$-\log_3 6\leqq x\log_3 2-y\leqq-1,$$
したがって
$$1+x\log_3 2\leqq y\leqq\log_3 6+x\log_3 2.$$
上下の境界線を含む平行な帯状領域となり、(1)の点は下側の境界上にある。図は概形である。