群馬大学 2022年数学第3問解答・解説

1問題

群馬大学2022年度第3問

空間内に

AB = 3

BC = 4

CA = 5

を満たす定点 A, B, C と、

PB = PC = 6

を満たし、3 点 A, B, C を通る平面上にはない動点 P がある。線分 BC の中点を M、線分 CA の中点を N, △PBC の外心を O とする。

(1) 線分 OP の長さを求めよ。

(2)

\angle\mathrm{MNO}

が直角になるときの

\cos\angle\mathrm{PMN}

の値を求めよ。

(3) 4 点 P, A, B, C を通る球の半径の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

\mathrm{B}=(0,0,0)

、

\mathrm{C}=(4,0,0)

、

\mathrm{A}=(0,3,0)

と置く。

\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=6

より

\mathrm{P}=(2,y,z),\quad y^{2}+z^{2}=32,\quad z\neq0.

\mathrm{M}=(2,0,0)

、

\mathrm{N}=\left(2,\dfrac{3}{2},0\right)

。三角形

\mathrm{PBC}

の外心は

\mathrm{O}=(2,ky,kz)

と書ける。

\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OP}^{2}

より

4+32k^{2}=32(1-k)^{2}

、したがって

k=\dfrac{7}{16}

。ゆえに

\mathrm{OP}=\dfrac{9}{16}\sqrt{32}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}.

(2)

\angle\mathrm{MNO}=90^{\circ}

は

\overrightarrow{\mathrm{NM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NO}}=0

、すなわち

\dfrac{7y}{16}=\dfrac{3}{2}

と同値である。よって

y=\dfrac{24}{7}

となり

\cos\angle\mathrm{PMN}=\dfrac{y}{\sqrt{32}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{7}.

(3)

四面体の外接球の中心を

\mathrm{S}=\left(2,\dfrac{3}{2},q\right)

とする。

\mathrm{SP}^{2}=\mathrm{SB}^{2}

から

qz=14-\dfrac{3y}{2}

、半径を

R

とすると

R^{2}=\dfrac{25}{4}+q^{2},\qquad q^{2}-\dfrac{31}{8}=\dfrac{\frac{49}{8}\left(y-\frac{24}{7}\right)^{2}}{32-y^{2}}\geqq0.

分母は

z^{2}>0

である。等号は

y=\dfrac{24}{7}

のときに実現し、このとき

z^{2}=\dfrac{992}{49}>0

。したがって

R_{\min}=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{31}{8}}=\boxed{\dfrac{9\sqrt{2}}{4}}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

空間座標と空間ベクトル
ベクトルの内積
空間図形の性質
空間図形の計量

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

3群馬大学 2022年数学第3問解答・解説

1問題

2解答

解答

次にやること

似た問題を、ほかの大学で