1昭和医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

極形式で $z$ のべき乗を計算して方程式を解き、実部と虚部の関係から円を表示する。さらに複素数の逆数の変換で得られる直線を順に調べる。

(1)

$z=\cos\dfrac{\pi}{9}+i\sin\dfrac{\pi}{9}$ だから、ド・モアブルの定理より
$$z^{3}=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\qquad 2z^{3}=1+\sqrt{3}\,i.$$
これを $2\alpha z^{3}=(1-t)\alpha+t$ に代入して整理すると
$$(1+\sqrt{3}\,i)\alpha=(1-t)\alpha+t,\qquad (t+\sqrt{3}\,i)\alpha=t.$$
実数 $t$ に対して $t^{2}+3>0$ なので
$$\alpha=\dfrac{t}{t+\sqrt{3}\,i}=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+3}-\dfrac{\sqrt{3}\,t}{t^{2}+3}\,i.$$
$\alpha=x+yi$ とおけば $x=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+3}$、$y=-\dfrac{\sqrt{3}\,t}{t^{2}+3}$ であり、
$$x^{2}+y^{2}=\dfrac{t^{4}+3t^{2}}{(t^{2}+3)^{2}}=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+3}=x.$$

(2)

従って $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{4}$ となる。すなわち、$\alpha$ は中心 $\dfrac{1}{2}$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円上を動く。

(3)

さらに $\alpha=1$ は $(t+\sqrt{3}\,i)\alpha=t$ を満たさないので、軌跡から除かれる。逆に、この円上で $x+yi\neq1$ とすると $x^{2}+y^{2}=x$ であり、
$$t=-\dfrac{\sqrt{3}\,y}{1-x}$$
とおける。このとき $t^{2}+3=\dfrac{3}{1-x}$ だから $\dfrac{t^{2}}{t^{2}+3}=x$、$-\dfrac{\sqrt{3}\,t}{t^{2}+3}=y$ となる。よって円周上の点は $1$ を除いてすべて得られる。

(4)

$t=0$ では $\alpha=0$ となり $\beta=\dfrac{z^{6}}{\alpha}$ は定義されないので、ここでは $\alpha\neq0$ とする。$c=z^{6}=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ とおくと、$\alpha=\dfrac{c}{\beta}$ である。$|c|=1$ と、円の式 $|\alpha|^{2}=\alpha$ の実部 を用いると
$$\dfrac{1}{|\beta|^{2}}=\dfrac{\text{（}c\overline{\beta}\text{ の実部）}}{|\beta|^{2}},$$
すなわち $c\overline{\beta}$ の実部が $1$ となる。
$\beta=u+vi$ とおけば、$c\overline{\beta}$ の実部は $\dfrac{-u+\sqrt{3}\,v}{2}$ だから、軌跡は直線 $-u+\sqrt{3}\,v=2$ 上にある。逆に、この直線上の点で $\beta\neq c$ とすれば $\alpha=\dfrac{c}{\beta}$ は上の円上にあり、$\alpha\neq0,\,1$ であるから、得られる $\beta$ の軌跡はこの直線から $c$ を除いたものとなる。実軸との交点では $v=0$ なので $u=-2$。従って $\gamma=-2$ である。

(5)

$$1-\dfrac{z^{6}}{\gamma}=1+\dfrac{c}{2}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i.$$
これは第 I 象限にあり、虚部と実部の比は $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ である。従って指定された範囲 $-\pi<\theta\leqq\pi$ で $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ となる。

$t=1$ とすると $\alpha=\dfrac{1-\sqrt{3}\,i}{4}$ であり、$\left|\alpha-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$、$\alpha\neq1$ である。また $\dfrac{z^{6}}{\alpha}=-2$ となるので、実軸との交点の値も確認できる。