4群馬大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

直線 $\ell$ は $x+y-1=0$ である。曲線 $C$ 上では
$$x+y-1=x+\left(-\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}x+1\right)-1=\dfrac{x(1-x)}{2}\geqq 0$$
となる。したがって点と直線の距離は
$$f(x)=\dfrac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}=\dfrac{x(1-x)}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{8\sqrt{2}}-\dfrac{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}}{2\sqrt{2}}.$$
$0\leqq x\leqq 1$ でこの値は $x=\dfrac{1}{2}$ のとき最大となり、最大値は $\dfrac{1}{8\sqrt{2}}$ である。

(2)

体積を求めるため、回転軸に沿う単位ベクトルとそれに垂直な単位ベクトルを
$$\vec{e}=\dfrac{(1,-1)}{\sqrt{2}},\qquad \vec{u}=\dfrac{(1,1)}{\sqrt{2}}$$
とし、軸上の点 $\mathrm{A}=(1,0)$ を基準にする。曲線上の点 $\mathrm{P}=(x,y)$ に対して、軸方向の座標と軸からの距離を
$$s=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\vec{e},\qquad r=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\vec{u}$$
とおく。$\mathrm{A}$ は $\ell$ 上にあるから、曲線上では
$$r=\dfrac{x+y-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{x(1-x)}{2\sqrt{2}}.$$
また $y'=-x-\dfrac{1}{2}$ より
$$\dfrac{ds}{dx}=\dfrac{1-y'}{\sqrt{2}}=\dfrac{x+\dfrac{3}{2}}{\sqrt{2}}>0\qquad(0\leqq x\leqq 1).$$
従って軸方向の座標は曲線に沿って単調に増加し、軸に垂直な断面は半径 $r$ の円板となる。よって
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_{0}^{1}r^{2}\,ds =\dfrac{\pi}{8\sqrt{2}}\int_{0}^{1}x^{2}(1-x)^{2}\left(x+\dfrac{3}{2}\right)dx\\ &=\dfrac{\pi}{8\sqrt{2}}\int_{0}^{1}\left(x^{5}-\dfrac{1}{2}x^{4}-2x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}\right)dx\\ &=\dfrac{\pi}{8\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right) =\dfrac{\pi}{120\sqrt{2}}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^1{r}^{2}ds=\frac{\pi }{8\sqrt{2}}{\int }_0^1{x}^2(1-x{)}^2\left(x+\frac{3}{2}\right)dx$$$$=\frac{\pi }{8\sqrt{2}}{\int }_0^1\left(x^5-\frac{1}{2}{x}^4-2x^3+\frac{3}{2}{x}^2\right)dx$$$$=\frac{\pi }{8\sqrt{2}}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{120\sqrt{2}}.$$

点と直線の距離を平方完成すると、区間内の最大値は $x=\dfrac{1}{2}$ で $\dfrac{1}{8\sqrt{2}}$。以上より、体積は $\dfrac{\pi}{120\sqrt{2}}$ である。