3福井大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$\vec a,\vec b,\vec c$は立方体の互いに垂直な長さ$1$の辺ベクトルなので、これらを座標軸にとる。点を$x\vec a+y\vec b+z\vec c$と表す。
(1) $M=(0,0,\frac23)$、$G=(0,1,1)$であり、$GN:NB=2:1$より$N=(0,1,\frac13)$。平面$\alpha$の方程式を$ux+vy+wz=1$とおく。$A=(1,0,0), M, N$を代入すると$u=1, v=\frac12, w=\frac32$だから、
$$\alpha:\ x+\frac y2+\frac{3z}{2}=1.$$
$BD$上の点は$(t,1,0)$と表せるので、$t+\frac12=1$から$L=(\frac12,1,0)$。よって
$$\overrightarrow{OL}=\frac12\vec a+\vec b.$$
$MN$上の点は$(0,t,\frac23-\frac t3)$、$AL$上の点は$(1-\frac s2,s,0)$と表せる。交点では$1-\frac s2=0$なので$s=2$。このとき$t=2$となり$P=(0,2,0)$だから
$$\overrightarrow{OP}=2\vec b.$$

(2) $\alpha$の法線ベクトルを$\vec n=\vec a+\frac12\vec b+\frac32\vec c$とする。原点からの垂線の足$H$は$\overrightarrow{OH}=\lambda\vec n$と表され、点$H$が平面$\alpha$上にあることから$\vec n\cdot\overrightarrow{OH}=1$。また$|\vec n|^2=1+\frac14+\frac94=\frac72$だから$\lambda=\frac27$。したがって
$$\overrightarrow{OH}=\frac27\vec a+\frac17\vec b+\frac37\vec c,\qquad |OH|=\frac1{|\vec n|}=\sqrt{\frac27}.$$

(3) 切断面は四角形$ALNM$である。O側の立体を四面体$OBLN, OALN, OANM$に分ける。各四面体の体積を順に求める。$\triangle OBN$の面積は$\frac16$、$L$から平面$x=0$までの距離は$\frac12$なので
$$V_{OBLN}=\frac13\cdot\frac16\cdot\frac12=\frac1{36}.$$
$\triangle OAL$の面積は$\frac12$、$N$から平面$z=0$までの距離は$\frac13$なので
$$V_{OALN}=\frac13\cdot\frac12\cdot\frac13=\frac1{18}.$$
$\triangle OAM$の面積は$\frac13$、$N$から平面$y=0$までの距離は$1$なので
$$V_{OANM}=\frac13\cdot\frac13\cdot1=\frac19.$$
以上から、求める体積は
$$\frac1{36}+\frac1{18}+\frac19=\frac7{36}.$$