2福井大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) 部分分数分解すると
$$\frac1{1-x^2}=\frac12\left(\frac1{1-x}+\frac1{1+x}\right).$$
各項を積分して
$$\boxed{\int\frac{dx}{1-x^2}=\frac12\log\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C}.$$
$x=\pm1$は定義されず、積分定数はこれらを除く各区間で定める。
(2) $u=\sin\theta$とおく。$du=\cos\theta\,d\theta$、$0\leqq\theta\leqq\pi/6$では$\cos\theta>0$なので
$$\int_0^{\pi/6}\frac{d\theta}{\cos\theta}=\int_0^{1/2}\frac{du}{1-u^2}=\left[\frac12\log\frac{1+u}{1-u}\right]_0^{1/2}=\boxed{\frac12\log3}.$$
(3) $x=3\tan t$と置くと、区間は$-\pi/6\leqq t\leqq\pi/6$となり、$\cos t>0$だから
$$dx=\frac3{\cos^2t}dt,\qquad\sqrt{x^2+9}=\frac3{\cos t}.$$
従って被積分関数の偶関数性と(2)から
$$\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\frac{dt}{\cos t}=2\int_0^{\pi/6}\frac{dt}{\cos t}=\boxed{\log3}.$$