白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

横浜市立大学／2026年度／前期

IV横浜市立大学 2026年 数学 第IV問解答・解説

三角関数積分法

1問題

横浜市立大学2026年度第IV問
以下の各問いに答えなさい。

(1) x=tan⁡θx=\tan\thetaと置換することで、定積分∫01dx1+x2\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}の値を求めなさい。

(2) 定積分∫0π4dxcos⁡x\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos x}の値を求めなさい。

(3) 定積分∫01x2e−x dx\int_0^1 x^2 e^{-x}\,dxの値を求めなさい。

(4) t=tan⁡x2t=\tan\dfrac{x}{2}と置換することで、不定積分∫dxsin⁡x+cos⁡x+1\int\frac{dx}{\sin x+\cos x+1}を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) x=tan⁡θx=\tan\theta とおくと、積分区間は 0≦θ≦π40\leqq\theta\leqq\frac\pi4、また dx=1cos⁡2θ dθdx=\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta、1+x2=1cos⁡2θ1+x^2=\frac{1}{\cos^2\theta} である。したがって
∫01dx1+x2=∫0π/41 dθ=π4. \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} =\int_0^{\pi/4}1\,d\theta =\boxed{\frac\pi4}.

(2) 0≦x≦π/40\leqq x\leqq\pi/4 で cos⁡x>0\cos x>0 である。
ddxlog⁡1+sin⁡xcos⁡x=cos⁡x1+sin⁡x+sin⁡xcos⁡x=cos⁡2x+sin⁡x+sin⁡2x(1+sin⁡x)cos⁡x=1cos⁡x. \begin{aligned} \frac{d}{dx}\log\frac{1+\sin x}{\cos x} &=\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin x+\sin^2x}{(1+\sin x)\cos x} =\frac1{\cos x}. \end{aligned}
従って
∫0π/4dxcos⁡x=[log⁡1+sin⁡xcos⁡x]0π/4=log⁡(1+2). \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos x} =\left[\log\frac{1+\sin x}{\cos x}\right]_0^{\pi/4} =\boxed{\log(1+\sqrt2)}.

(3) 部分積分を2回用いると
∫01x2e−x dx=[−x2e−x]01+2∫01xe−x dx=−1e+2([−xe−x]01+∫01e−x dx)=−1e+2(−1e+1−1e)=2−5e. \begin{aligned} \int_0^1x^2e^{-x}\,dx &=\left[-x^2e^{-x}\right]_0^1+2\int_0^1xe^{-x}\,dx\\ &=-\frac1e+2\left(\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx\right)\\ &=-\frac1e+2\left(-\frac1e+1-\frac1e\right) =\boxed{2-\frac5e}. \end{aligned}

(4) t=tan⁡x2t=\tan\frac{x}{2} とおくと
dx=21+t2 dt,sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2. dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt,\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.
したがって
sin⁡x+cos⁡x+1=2(1+t)1+t2,dxsin⁡x+cos⁡x+1=dt1+t. \sin x+\cos x+1=\frac{2(1+t)}{1+t^2}, \qquad \frac{dx}{\sin x+\cos x+1}=\frac{dt}{1+t}.
よって、被積分関数が定義される各区間で
∫dxsin⁡x+cos⁡x+1=log⁡∣1+tan⁡x2∣+C. \int\frac{dx}{\sin x+\cos x+1} =\boxed{\log\left|1+\tan\frac{x}{2}\right|+C}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 置換積分
  • 三角関数の基本恒等式
  • 部分積分
  • 半角正接置換

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

横浜市立大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

横浜市立大学のほかの年度

2025202420232022

似た問題を、ほかの大学で