4岐阜大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$n$ を自然数とする。また、$k$ を $0\leqq k\leqq n$ を満たす整数とする。$I(n,k)$ を $$I(n,k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-k}x\cos^{k}x\,dx$$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $I(2,0)$ と $I(2,1)$ の値を求めよ。

(2) $I(3,0)$ と $I(3,1)$ の値を求めよ。

(3) $I(n,k)=I(n,n-k)$ を示せ。

(4) $\alpha$ を $\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\quad\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ を満たす定数とする。次の定積分の値を求めよ。 $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}(x+\alpha)\,dx$$