4福井大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)

さいころの出目 $(a,b,c)$ はそれぞれ 1 から 6 までで、全事象は $6^{3}=216$ 通りである。
$$f'(x)=ax^{2}-2bx+3c$$
より、$f'(2)=0$ は $4a-4b+3c=0$ と同値である。これを 4 を法として見ると $3c\equiv0\pmod4$ なので、$c$ は 4 の倍数であり、範囲から $c=4$ である。元の式に代入すると $b=a+3$ となり、$a=1,\,2,\,3$ の 3 通りを得る。したがって
$$P(f'(2)=0)=\dfrac{3}{216}=\boxed{\dfrac{1}{72}}.$$

(2)

$x=3$ が極値点となるには、$f'(3)=0$ かつ $f''(3)\neq0$ が必要十分である。まず
$$f'(3)=9a-6b+3c=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad c=2b-3a.$$
この条件の下で
$$f''(3)=6a-2b=2(3a-b)$$
であり、したがって $f''(3)\neq0$ は $b\neq3a$ と同値である。$b=3a$ なら、さらに $c=3a$ となり、$f'(x)=a(x-3)^{2}$ で符号が変わらないため、$x=3$ は極値点ではない。

$1\leqq a,\,b,\,c\leqq6$ と $c=2b-3a$ を満たす候補を調べる。
$$\begin{array}{c|c|c|c} a&b&c=2b-3a&b\neq3a\text{ を満たす組数}\\\hline 1&2,\,3,\,4&1,\,3,\,5&2\\ 2&4,\,5,\,6&2,\,4,\,6&2\\ 3&5,\,6&1,\,3&2\\ 4,\,5,\,6&\text{なし}&\text{なし}&0 \end{array}$$
候補 8 通りのうち $(1,3,3)$ と $(2,6,6)$ は $b=3a$ の重根の場合である。残る 6 通りが極値を与えるから
$$P(x=3\text{ で極値})=\dfrac{6}{216}=\boxed{\dfrac{1}{36}}.$$

(3)

$f(x)$ が極値をもつための必要十分条件は、$f'(x)$ が異なる 2 つの実数解をもつことである。判別式が正となる条件を計算すると
$$(-2b)^{2}-4a(3c)>0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad b^{2}>3ac.$$
各 $a$、$b$ に対し、$1\leqq c\leqq6$ かつ $c<\dfrac{b^{2}}{3a}$ を満たす $c$ の個数を数えると次の通りである。
$$\begin{array}{c|rrrrrr|r} &b=1&b=2&b=3&b=4&b=5&b=6&\text{計}\\\hline a=1&0&1&2&5&6&6&20\\ a=2&0&0&1&2&4&5&12\\ a=3&0&0&0&1&2&3&6\\ a=4&0&0&0&1&2&2&5\\ a=5&0&0&0&1&1&2&4\\ a=6&0&0&0&0&1&1&2\\\hline \text{計}&&&&&&&49 \end{array}$$
したがって、$f(x)$ が極値をもつ場合は 49 通りである。(2) の 6 通りはすべてこの場合に含まれるので、求める条件付き確率は
$$\dfrac{6}{49}=\boxed{\dfrac{6}{49}}.$$