2福井大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)

$a=\log 2$ とおく。$N=e^x-e^{-x}$、$D=e^x+e^{-x}$ とすると $f=\dfrac{N}{D}$ であり、$D>0$ である。また $N'=D$、$D'=N$ だから、商の微分法により
$$f'(x)=\dfrac{N'D-ND'}{D^2} =\dfrac{D^2-N^2}{D^2} =1-\left(\dfrac ND\right)^2 =1-\{f(x)\}^2.$$
さらに
$$f(0)=0,\qquad f(a)=\dfrac{2-\dfrac12}{2+\dfrac12}=\dfrac35.$$

(2)

$f'=1-f^2$ を積分すると
$$I_2=\displaystyle\int_0^a f(x)^2\,dx =\displaystyle\int_0^a(1-f'(x))\,dx =a-f(a)+f(0) =\log 2-\dfrac35.$$

(3)

合成関数の微分から
$$\{f^{n+1}\}'=(n+1)f^n f' =(n+1)(f^n-f^{n+2}).$$
これを $0$ から $a$ まで積分すると
$$f(a)^{n+1}-f(0)^{n+1} =(n+1)(I_n-I_{n+2}).$$
端点値を代入して
$$I_{n+2}=I_n-\dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n+1}}{n+1} \qquad(n=1,2,\ldots).$$
$n=2$ と (2) の結果から
$$I_4=I_2-\dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^3}{3} =\log 2-\dfrac35-\dfrac9{125} =\log 2-\dfrac{84}{125}.$$