1福井大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

全体から $n$ 個を選ぶ方法は ${}_{2n}\mathrm{C}_{n}$ 通りである。赤玉 $n$ 個から $k$ 個、白玉 $n$ 個から $n-k$ 個を選ぶ場合は
$${}_{n}\mathrm{C}_{k}{}_{n}\mathrm{C}_{n-k}={}_{n}\mathrm{C}_{k}^2$$
通りである。従って求める確率は
$$\boxed{\dfrac{{}_{n}\mathrm{C}_{k}^2}{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}}}.$$

(2)

赤玉 $n$ 個と白玉 $n$ 個を区別して並べた $2n$ 個から $n$ 個を選ぶ。選んだ赤玉の個数が $k$ であれば、赤玉の選び方が ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ 通り、白玉の選び方は ${}_{n}\mathrm{C}_{n-k}={}_{n}\mathrm{C}_{k}$ 通りで、合計 ${}_{n}\mathrm{C}_{k}^2$ 通りである。赤玉の個数 $k$ は $0,1,\cdots,n$ のいずれかなので、場合を重複なく分けて全て足すと、同じ選び方の総数 ${}_{2n}\mathrm{C}_{n}$ が得られる。よって
$$\boxed{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}^2={}_{2n}\mathrm{C}_{n}}.$$

(3)

階乗を使って
$${}_{2n}\mathrm{C}_{n}=\dfrac{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}{1\cdot2\cdots n}$$
と書く。区間 $n+1,n+2,\cdots,2n$ には $p$ 自身が含まれる。$p>n$ であり $2p>2n$ だから、この区間にある $p$ の倍数は $p$ だけである。また $p>n$ より $p^2>2n$（$n=1$ の場合も成り立つ）なので、その因子に $p$ が重ねて含まれることもない。分母 $n!$ には $p$ の倍数はない。従ってこの二項係数には素因数 $p$ がちょうど1個含まれ、
$$\boxed{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}\text{ は }p\text{ で割り切れるが、}p^{2}\text{ では割り切れない}}.$$