1愛媛大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(2)(ii) は 8 または 12 で割り切れる数を、8 と 12 の最小公倍数 24 を使って包除原理で数える。(3) は一の位の数字だけで偶奇が決まり、表のとき一の位は変わらない。並びを追って樹形図をかく。(4) は正三角形の条件で $\mathrm{B}$ を決め、平面 $\mathrm{OAB}$ の方程式に $\mathrm{C}$ を代入する。

(1)

$x^{2}=0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5$ より $x=0,\ \pm1,\ \pm\sqrt{2},\ \pm\sqrt{3},\ \pm2,\ \pm\sqrt{5}$ で、要素は 11 個。このうち無理数は $\pm\sqrt{2},\,\pm\sqrt{3},\,\pm\sqrt{5}$ の 6 個。

(2)

(i)

8 の倍数は 62 個だから、$500-62=438$ 個。

(ii)

8 の倍数 62 個、12 の倍数 41 個、24 の倍数 20 個より、8 または 12 で割り切れる数は $62+41-20=83$ 個。よって $500-83=417$ 個。

(3)

各位の数字の並びを（百、十、一）で表す。奇数であるのは一の位が 1 か 3 のときである。表では一の位は変わらず、裏では一の位が十の位の数字になる。

$(2,\,3,\,1)$ から、表で $(3,\,2,\,1)$、裏で $(2,\,1,\,3)$ となり、どちらも奇数。よって $P_{1}=1$。

$(3,\,2,\,1)$ からは、表で $(2,\,3,\,1)$（奇数）、裏で $(3,\,1,\,2)$（偶数）。$(2,\,1,\,3)$ からは、表で $(1,\,2,\,3)$、裏で $(2,\,3,\,1)$ でどちらも奇数。よって
$$P_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot1=\dfrac{3}{4}.$$
2 回目まで奇数のとき、2 回目の並びは $(2,\,3,\,1)$（確率 $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}$）か $(1,\,2,\,3)$（確率 $\dfrac{1}{4}$）である。$(2,\,3,\,1)$ からは次も必ず奇数、$(1,\,2,\,3)$ からは表で $(2,\,1,\,3)$（奇数）、裏で $(1,\,3,\,2)$（偶数）。よって
$$P_{3}=\dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{8}.$$

(4)

$\mathrm{OA}^{2}=8$。$\mathrm{OB}^{2}=a^{2}+b^{2}+4=8$、$\mathrm{AB}^{2}=a^{2}+(b-2)^{2}=8$。差をとると $4b=0$、$b=0$、$a^{2}=4$、$a>0$ より $a=2$。

平面 $\mathrm{OAB}$ を $px+qy+rz=0$ とおくと、$\mathrm{A}(0,\,2,\,2)$、$\mathrm{B}(2,\,0,\,2)$ を通るから $q+r=0$、$p+r=0$。よって平面は $x+y-z=0$。$\mathrm{C}$ を代入して $c+(c+1)-(c+3)=0$、$c=2$。

(5)

(i)

$\cos2\theta=2t^{2}-1$、$\cos4\theta=2\cos^{2}2\theta-1=2(2t^{2}-1)^{2}-1=8t^{4}-8t^{2}+1$。

(ii)

$8t^{4}-8t^{2}+1+2t^{2}=0$ より $8t^{4}-6t^{2}+1=0$、$(4t^{2}-1)(2t^{2}-1)=0$。$-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では $t=\cos\theta\geqq0$ だから $t=\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。よって $\theta=\pm\dfrac{\pi}{3},\ \pm\dfrac{\pi}{4}$。