6愛媛大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1)

1(i)

ド・モアブルの定理より $\alpha^{n}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$、$\alpha\neq 0$。
したがって $\alpha^{n-k}=\dfrac{\alpha^{n}}{\alpha^{k}}=\dfrac{1}{\alpha^{k}}$。
$1\leqq k\leqq n-1$ では $\alpha^{k}\neq 1$ なので、以後の分母も 0 ではない。

1(ii)

$\dfrac{1}{1-z}+\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{z}}=\dfrac{1}{1-z}+\dfrac{z}{z-1}=\dfrac{1-z}{1-z}=1$。
$z\neq 0,\,1$ で変形は有効である。

1(iii)

$n=3$ では $k=1,\,2$ を組にすると $\alpha^{2}=\dfrac{1}{\alpha}$。
(ii) より 2 項の和は 1。

1(iv)

$n=4$ では $k=1,\,3$ の組の和が 1。
残る $k=2$ では $\alpha^{2}=-1$ なので項は $\dfrac{1}{2}$。合計 $\dfrac{3}{2}$。

1(v)

$n$ が奇数なら $k$ と $n-k$ を組にして、同じ項が組内に重なることはなく、$\dfrac{n-1}{2}$ 組になる。
(i)、(ii) から各組の和は 1 なので、結論を得る。

1(vi)

$n$ が偶数なら $k=\dfrac{n}{2}$ を除いて $\dfrac{n-2}{2}$ 組を作れ、各組の和は 1。
残る $\alpha^{\dfrac{n}{2}}=-1$ の項は $\dfrac{1}{2}$。
合計は $\dfrac{n-2}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{n-1}{2}$。

(2)

2(i)

$(a_1,b_1)=(1,1)$、$(a_2,b_2)=(1,0)$、$(a_3,b_3)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$。
それぞれ原点からの距離を求めて、答えを得る。

2(ii)

$r_{n+1}^{2}=\dfrac{(a_n+b_n)^{2}+(a_n-b_n)^{2}}{4}=\dfrac{a_n^{2}+b_n^{2}}{2}=\dfrac{r_n^{2}}{2}$。
半径は正なので $r_{n+1}=\dfrac{r_n}{\sqrt{2}}$。
$r_1=\sqrt{2}$ より $r_n=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}=2^{1-\dfrac{n}{2}}$。

2(iii)

円 $x^{2}+y^{2}=r_n^{2}$ の点 $\left(\dfrac{r_n}{\sqrt{2}},\,-\dfrac{r_n}{\sqrt{2}}\right)$ における接線は
$$\dfrac{r_n}{\sqrt{2}}x-\dfrac{r_n}{\sqrt{2}}y=r_n^{2}$$
したがって $x-y=\sqrt{2}\,r_n=2^{\dfrac{3-n}{2}}$。

2(iv)(a)

$D_n$ の導関数は $\dfrac{1}{x-d_n}$。
$\ell_n$ の傾き 1 に等しくなる接点は $x=d_n+1$、このとき $y=1$。
接線は $y-1=x-(d_n+1)$、すなわち $y=x-d_n$。(iii) と比較して結論を得る。

2(iv)(b)

$u=x-d_n$ として水平に平行移動すると、直線 $y=u$、曲線 $y=\log u+1$、軸 $y=0$ となる。
曲線は $u=\dfrac{1}{e}$ で軸と交わり、$u=1$ で直線に接する。$\log u\leqq u-1$ より曲線は接線以下。
囲まれた面積は
$$\begin{aligned} &\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{1}{e}}u\,du+\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}\{u-(\log u+1)\}\,du\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}u\,du-\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}(\log u+1)\,du\\ &=\dfrac{1}{2}-[u\log u]_{\dfrac{1}{e}}^{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{e}. \end{aligned}$$$${\int }_0^{\frac{1}{e}}udu+{\int }_{\frac{1}{e}}^1\{u-(\log u+1)\}du$$$$={\int }_0^{1}udu-{\int }_{\frac{1}{e}}^1(\log u+1)du$$$$=\frac{1}{2}-[u\log u{]}_{\frac{1}{e}}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{e}.$$
したがって面積は $n$ によらない。