1高知大学 2025年 数学 第1問解答・解説

準備（有限集合について）

有限集合について、
$$n(P\cup Q)=n(P)+n(Q)-n(P\cap Q)$$
を用いる。

(1)

$a=1$ のとき、$x^{2}+y^{2}\leqq 1$ を満たす整数の組 $(x,y)$ は
$$(0,0),\ (1,0),\ (-1,0),\ (0,1),\ (0,-1)$$
の 5 点である。したがって $n(P)=5$ である。

(2)

$a=2$ のとき、$x'=x-b$ とおくと、$x'$ も整数全体を動き、$Q$ の条件は $x'^{2}+y^{2}\leqq 16$ となる。$x'$ ごとに数えると
$$\begin{array}{c|ccccc} x'&0&\pm 1&\pm 2&\pm 3&\pm 4\\ \hline \text{点数}&9&14&14&10&2 \end{array}$$
だから $n(Q)=9+14+14+10+2=49$ である。

(3)

$b=a^{2}-10$ で、$b$ は正の整数なので $a\geqq 4$ である。
$P$ に属する点の $x$ 座標は $-a\leqq x\leqq a$、$Q$ に属する点の $x$ 座標は $b-2a\leqq x\leqq b+2a$ を満たす。$b>0$ より $b+2a>a$ だから、これらの区間が重なる条件は $b-2a\leqq a$、すなわち $b\leqq 3a$ である。
この条件を満たすとき、$-a$ と $b-2a$ のうち大きい方を $x_{0}$ とすると、整数 $x_{0}$ は両方の区間に入り、$(x_{0},0)\in P\cap Q$ となる。逆に $b>3a$ なら両区間は重ならず、共通点はない。よって
$$n(P\cup Q)\ne n(P)+n(Q)\quad\text{すなわち}\quad P\cap Q\ne\varnothing\quad\text{すなわち}\quad b\leqq 3a$$
である。$b=a^{2}-10$ を代入すると $a^{2}-3a-10\leqq 0$、すなわち $(a-5)(a+2)\leqq 0$、すなわち $-2\leqq a\leqq 5$ である。$a\geqq 4$ と合わせて $a=4,\,5$ である。

(4)

点 $(x,y)$ を $(-x,-y)$ に移す対応は $P$ を保ち、この対応で動かない格子点は $(0,0)$ だけなので、$n(P)$ は奇数である。同様に、点 $(x,y)$ を $(2b-x,-y)$ に移す対応は $Q$ を保ち、動かない点は $(b,0)$ だけなので、$n(Q)$ も奇数である。和集合の個数の公式より、$n(P\cup Q)$ の偶奇は $n(P\cap Q)$ の偶奇と一致する。
$P\cap Q$ では $(x,y)$ と $(x,-y)$ が組になるため、その個数の偶奇は $y=0$ 上の共通点の個数の偶奇で決まる。このときの $x$ の範囲は
$$\max(-a,\,20-2a)\leqq x\leqq a$$
である（$\max$ は $-a$ と $20-2a$ のうち大きい方を表す）。
$a\leqq 6$ なら共通点は 0 個、$a=7$ なら 2 個で、いずれも偶数である。$7\leqq a<20$ では点数は $3a-19$ 個であり、$a=8$ で初めて奇数となる。$a\geqq 20$ では点数は $2a+1$ 個だが、これより小さい $a=8$ ですでに奇数となる。したがって求める最小の $a$ は $a=8$ である。