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愛媛大学／2023年度／前期

1愛媛大学 2023年 数学 第1問解答・解説

図形と計量三角関数場合の数と確率ベクトル指数関数・対数関数

難易度必答 レベル 3/10 目安 20分編集部の評価

対象教育・工・農医学科は解かない

1問題

愛媛大学2023年度第1問
以下の問いに答えよ。

(1) AA が鋭角で、cos⁡A=15\cos A=\dfrac{1}{5} を満たすとき、sin⁡A\sin A と tan⁡A\tan A の値を求めよ。

(2) 0≦x<2π0\leqq x<2\pi のとき、不等式 sin⁡x+cos⁡2x<0\sin x+\cos2x<0 を解け。

(3) A\mathrm{A}、B\mathrm{B} の 2 つの袋があり、A\mathrm{A} には赤玉が 1 個と青玉が 3 個、B\mathrm{B} には赤玉が 2 個と青玉が 2 個入っている。A\mathrm{A} から同時に 2 個、B\mathrm{B} から同時に 2 個の玉を取り出すとき、これら 4 個の玉のうち、赤玉が 1 個となる確率を求めよ。

(4) △ABC\triangle\mathrm{ABC} の辺 AB\mathrm{AB} の中点を P\mathrm{P} とし、辺 AC\mathrm{AC} を 2:12:1 に内分する点を Q\mathrm{Q} とする。線分 BQ\mathrm{BQ} と線分 CP\mathrm{CP} の交点を R\mathrm{R} とするとき、
AR→=sAB→+tAC→ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}
を満たす実数 s, ts,\,t の値を求めよ。

(5) log⁡35, 32, log⁡924\log_{3}5,\ \dfrac{3}{2},\ \log_{9}24 を大きい順に並べよ。

出典：愛媛大学 2023年度 前期 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    sin⁡A=265\sin A=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}、tan⁡A=26\tan A=2\sqrt{6}
  • (2)
    76π<x<116π\dfrac{7}{6}\pi<x<\dfrac{11}{6}\pi
  • (3)
    512\dfrac{5}{12}
  • (4)
    s=14, t=12s=\dfrac{1}{4},\ t=\dfrac{1}{2}
  • (5)
    32>log⁡35>log⁡924\dfrac{3}{2}>\log_{3}5>\log_{9}24

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(2) は 2 倍角の公式で sin⁡x\sin x の 2 次不等式にする。(3) は「A から赤 1 個・B から赤 0 個」と「A から赤 0 個・B から赤 1 個」に分ける。(4) は R\mathrm{R} を 2 本の線分上の点として 2 通りに表し、係数を比べる。(5) は底を 3 にそろえ、32=log⁡327\dfrac{3}{2}=\log_{3}\sqrt{27}、log⁡924=log⁡324\log_{9}24=\log_{3}\sqrt{24} として真数を比べる。

解答

(1)

AA は鋭角だから sin⁡A=1−125=265\sin A=\sqrt{1-\dfrac{1}{25}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}、tan⁡A=sin⁡Acos⁡A=26\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}=2\sqrt{6}。

(2)

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^{2}x より 2sin⁡2x−sin⁡x−1>02\sin^{2}x-\sin x-1>0、すなわち (2sin⁡x+1)(sin⁡x−1)>0(2\sin x+1)(\sin x-1)>0。sin⁡x−1≦0\sin x-1\leqq0 だから、sin⁡x≠1\sin x\neq1 のもとで 2sin⁡x+1<02\sin x+1<0、すなわち sin⁡x<−12\sin x<-\dfrac{1}{2}。よって 76π<x<116π\dfrac{7}{6}\pi<x<\dfrac{11}{6}\pi。

(3)

A から取り出す 2 個に赤玉が 1 個入る確率は 1⋅34C2=12\dfrac{1\cdot3}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\dfrac{1}{2}、入らない確率も 12\dfrac{1}{2}。B から取り出す 2 個の赤玉の個数が 0、1 である確率は 16\dfrac{1}{6}、2⋅26=23\dfrac{2\cdot2}{6}=\dfrac{2}{3}。よって
12⋅16+12⋅23=112+13=512. \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{12}.

(4)

AP→=12AB→\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}、AQ→=23AC→\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}} である。R\mathrm{R} は線分 BQ\mathrm{BQ} 上にも線分 CP\mathrm{CP} 上にもあるから
AR→=(1−u)AB→+23uAC→=12vAB→+(1−v)AC→. \overrightarrow{\mathrm{AR}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{2}{3}u\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}v\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-v)\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
AB→, AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}},\,\overrightarrow{\mathrm{AC}} は 1 次独立なので 1−u=v21-u=\dfrac{v}{2}、23u=1−v\dfrac{2}{3}u=1-v。これを解いて u=34u=\dfrac{3}{4}、v=12v=\dfrac{1}{2}。よって s=14s=\dfrac{1}{4}、t=12t=\dfrac{1}{2}。

(5)

32=log⁡3332=log⁡327\dfrac{3}{2}=\log_{3}3^{\frac{3}{2}}=\log_{3}\sqrt{27}、log⁡924=log⁡3242=log⁡324\log_{9}24=\dfrac{\log_{3}24}{2}=\log_{3}\sqrt{24}。24<5=25<27\sqrt{24}<5=\sqrt{25}<\sqrt{27} で、底 3 は 1 より大きいから
32>log⁡35>log⁡924. \dfrac{3}{2}>\log_{3}5>\log_{9}24.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 三角比の相互関係
  • 2倍角の公式
  • 交点の位置ベクトル
  • 底の変換公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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