3獨協医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$\mathrm{H}$ は平行四辺形の対角線の交点なので、$\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の中点である。$\vec{h}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ とし、$\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{HA}}$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{HB}}$ と置くと
$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{h}+\vec{u},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{h}-\vec{u},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{h}+\vec{v},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{h}-\vec{v}.$$
$\vec{h}$ は底面に垂直で、$\vec{u}$、$\vec{v}$ は底面内にあるから $\vec{h}\cdot\vec{u}=\vec{h}\cdot\vec{v}=0$。また $|\vec{u}|=\dfrac{\sqrt{61}}{2}$、$|\vec{v}|=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ である。

与えられた内積から
$$|\vec{h}|^{2}-|\vec{u}|^{2}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\dfrac{1}{2}$$
したがって $|\vec{h}|^{2}=\dfrac{59}{4}$。また
$$|\vec{h}|^{2}+\vec{u}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\dfrac{25}{2}$$
より $\vec{u}\cdot\vec{v}=-\dfrac{9}{4}$ である。したがって
$$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}=|\vec{h}|^{2}+|\vec{u}|^{2}=\dfrac{59+61}{4}=30,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}=|\vec{h}|^{2}+|\vec{v}|^{2}=\dfrac{59+21}{4}=20,$$
$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=|\vec{h}|^{2}-\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{59+9}{4}=17.$$
よって $\mathrm{OA}=\sqrt{30}$、$\mathrm{OB}=2\sqrt{5}$ である（なお $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{59-21}{4}=\dfrac{19}{2}$ となり、与えられた条件とも一致する）。

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{v}-\vec{u}$、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\vec{u}-\vec{v}$ だから
$$\mathrm{AB}^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}=25,\qquad \mathrm{BC}^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}=16.$$
したがって $\mathrm{AB}=5$、$\mathrm{BC}=4$ である。

対角線のベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-2\vec{u}$、$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=-2\vec{v}$ なので、そのなす角を $\theta$ とすると
$$\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}}{\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}} =\dfrac{-9}{\sqrt{61}\sqrt{21}}.$$
平行四辺形の面積は対角線を用いて $S=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}\sin\theta$ だから
$$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{61\cdot21}\sqrt{1-\dfrac{81}{61\cdot21}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{1200}=10\sqrt{3}.$$

(2)

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とする。平行四辺形より $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$ である。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{2}\vec{a},\qquad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{3}{4}\vec{b},\qquad \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}).$$
平面 $PQR$ 上の点 $\mathrm{X}$ は、実数 $s$、$t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})+t(\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})$ と書ける。これが直線 $\mathrm{OC}$ 上にあるためには、$\vec{a}$、$\vec{b}$ の係数がともに $0$ でなければならないから
$$\dfrac{1}{2}-\dfrac{s}{2}-\dfrac{t}{4}=0,\qquad \dfrac{3s}{4}-\dfrac{t}{4}=0.$$
これを解くと $s=\dfrac{2}{5}$、$t=\dfrac{6}{5}$ となり、$\vec{c}$ の係数は $\dfrac{t}{4}=\dfrac{3}{10}$ である。ゆえに
$$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\dfrac{3}{10}\overrightarrow{\mathrm{OC}}.$$

線分 $\mathrm{PT}$ 上の点 $\mathrm{U}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OU}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\lambda(\overrightarrow{\mathrm{OT}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})$ と表すと
$$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=\dfrac{1-\lambda}{2}\vec{a}+\dfrac{3\lambda}{10}\vec{c}.$$
一方、線分 $\mathrm{QR}$ 上の点は $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\mu(\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}})$ と表せ、その $\vec{a}$、$\vec{c}$ の係数はともに $\dfrac{\mu}{4}$ である。係数を比較して $\dfrac{1-\lambda}{2}=\dfrac{3\lambda}{10}$ より $\lambda=\dfrac{5}{8}$、さらに $\dfrac{\mu}{4}=\dfrac{3}{16}$、すなわち $\mu=\dfrac{3}{4}$ を得る。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=\dfrac{3}{16}(\vec{a}+\vec{c}).$$

最後に $\overrightarrow{\mathrm{OU}}=\dfrac{3}{16}(\vec{a}+\vec{c})$、$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$ を用いる。先に得た内積から
$$|\vec{a}+\vec{c}|^{2}=30+30+2\left(-\dfrac{1}{2}\right)=59,\qquad (\vec{a}+\vec{c})\cdot\vec{b}=\dfrac{25}{2}+17=\dfrac{59}{2}.$$
したがって
$$w_{1}=\overrightarrow{\mathrm{UO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{UD}} =-\dfrac{3}{16}(\vec{a}+\vec{c})\cdot\left(\dfrac{13}{16}(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b}\right) =-\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{13}{16}\cdot59-\dfrac{59}{2}\right)=-\dfrac{885}{256}.$$
また $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})$ なので
$$w_{2}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\dfrac{1}{2}\left(30-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{59}{4}.$$
よって
$$\dfrac{w_{1}}{w_{2}}=\dfrac{-\dfrac{885}{256}}{\dfrac{59}{4}}=-\dfrac{15}{64}.$$