1獨協医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

停止条件を満たす色列を場合分けし、各時点の袋の赤玉・白玉の個数に基づく確率を掛ける。(3)は4個目が赤でも白でも停止することを分母に反映し、条件付き確率を求める。

赤玉を取り出すことを $\mathrm{R}$、白玉を取り出すことを $\mathrm{W}$ と書く。赤玉を取り出したときはそれを白玉に替えるので、袋の赤玉は1個減る。白玉を取り出したときは袋に戻すので、赤玉と白玉の個数は変わらない。以下、各回の確率はその直前の袋の中身から求める。

(1) 2個目で終了するには、白玉を2回取り出すしかない。最初の2回で赤玉3個を取り切ることはできないため、該当するのは $\mathrm{WW}$ のみである。よって
$$P(\text{2個目で終了})=\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac14.$$
3個目で終了する経路は、3個目が2回目の白玉となる $\mathrm{WRW},\mathrm{RWW}$ と、3個目が3個目の赤玉となる $\mathrm{RRR}$ である。それぞれ
$$\begin{aligned} P(\mathrm{WRW})&=\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac16,\\ P(\mathrm{RWW})&=\frac{3}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac29,\\ P(\mathrm{RRR})&=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}. \end{aligned}$$$$P(\mathrm{WRW})=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}=\frac{1}{6},$$$$P(\mathrm{RWW})=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{4}{6}=\frac{2}{9},$$$$P(\mathrm{RRR})=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$$
したがって
$$P(\text{3個目で終了})=\frac16+\frac29+\frac{1}{36}=\frac{5}{12}.$$
ゆえに、ア=1、イ=4、ウ=5、エオ=12である。

(2) 4個目が3個目の赤玉となるには、最初の3回で赤玉を2回、白玉を1回取り出し、4個目に残りの赤玉を取り出す。該当する経路は $\mathrm{WRRR},\mathrm{RWRR},\mathrm{RRWR}$ である。これらは3個目までに終了しない。各経路の確率は
$$\begin{aligned} P(\mathrm{WRRR})&=\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{72},\\ P(\mathrm{RWRR})&=\frac{3}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{54},\\ P(\mathrm{RRWR})&=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{216}. \end{aligned}$$$$P(\mathrm{WRRR})=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{72},$$$$P(\mathrm{RWRR})=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{54},$$$$P(\mathrm{RRWR})=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{216}.$$
よって求める確率は
$$\frac{1}{72}+\frac{1}{54}+\frac{5}{216}=\frac{1}{18}.$$
ゆえに、カ=1、キク=18である。

(3) 4個目を取り出すためには、最初の3回で赤玉を2回、白玉を1回取り出す必要がある。該当する $\mathrm{WRR},\mathrm{RWR},\mathrm{RRW}$ の確率はそれぞれ
$$\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{12},\qquad \frac{3}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac19,\qquad \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{36}.$$
その合計は $\frac{1}{12}+\frac19+\frac{5}{36}=\frac13$ である。この時点で袋には赤玉1個と白玉5個がある。4個目が白玉なら白玉を取り出した回数が2回となり、赤玉なら袋がすべて白玉になるので、どちらの色でも4個目で終了する。したがって
$$P(\text{4個目で終了})=\frac13\left(\frac56+\frac16\right)=\frac13.$$
このうち白玉が連続して取り出される経路は $\mathrm{RRWW}$ のみで、その確率は
$$P(\mathrm{RRWW})=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{216}.$$
よって求める条件付き確率は
$$\frac{P(\mathrm{RRWW})}{P(\text{4個目で終了})} =\frac{25/216}{1/3}=\frac{25}{72}.$$
ゆえに、ケコ=25、サシ=72である。