2獨協医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

楕円の軸と焦点を距離条件から定める。接線は傾きと切片で処理し、面積は直線までの距離と楕円の媒介変数表示から最大化する。内心の重心的表示で y 座標比を出し、放物線は焦点・準線からの距離が等しいことを楕円の式に代入する。

円を $x$ 軸方向にはそのまま、$y$ 軸方向には $\frac{\sqrt3}{2}$ 倍するので、楕円の長半径と短半径はそれぞれ $a=r$、$b=\frac{\sqrt3}{2}r$ である。焦点距離を $c$ とすると
$$c^2=a^2-b^2=r^2-\frac34r^2=\frac14r^2,\qquad c=\frac r2.$$
したがって $F_1=(-\frac r2,0)$、$A=(0,-\frac{\sqrt3}{2}r)$ であり、
$$F_1A=\sqrt{\left(\frac r2\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}r\right)^2}=r=2\sqrt5.$$
よって $r=2\sqrt5$、$F_1=(-\sqrt5,0)$ で、楕円 $C$ の方程式は
$$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1$$
となる。

(1) 直線 $F_1A$ の傾きは $-\frac{\sqrt{15}}{\sqrt5}=-\sqrt3$ である。傾き $m$ の楕円の接線は $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$ と表せる（接点を $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ と置き、接線の傾き条件を用いると得られる）。ここで $m=-\sqrt3$ だから切片は $\pm\sqrt{20\cdot3+15}=\pm5\sqrt3$ であり、正の切片をもつ接線は
$$\ell:y=-\sqrt3x+5\sqrt3$$
である。

三角形 $F_1AP$ の底辺 $F_1A$ の長さは $2\sqrt5$ である。直線 $F_1A$ は $\sqrt3x+y+\sqrt{15}=0$ なので、点 $P=(x,y)$ からこの直線までの距離は $\frac{|\sqrt3x+y+\sqrt{15}|}{2}$。よって面積は
$$\frac{\sqrt5}{2}|\sqrt3x+y+\sqrt{15}|.$$
$P$ を $(2\sqrt5\cos\theta,\sqrt{15}\sin\theta)$ と置くと
$$\sqrt3x+y=\sqrt{15}(2\cos\theta+\sin\theta)=5\sqrt3\cos(\theta-\varphi),$$
ただし $\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5}$、$\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt5}$ とした。したがって $\sqrt3x+y$ の範囲は $-5\sqrt3\leqq\sqrt3x+y\leqq5\sqrt3$ である。$\sqrt{15}>0$ より
$$\max|\sqrt3x+y+\sqrt{15}|=5\sqrt3+\sqrt{15}$$
となる（負側の端での絶対値 $5\sqrt3-\sqrt{15}$ より大きい）。ゆえに面積の最大値は
$$\frac{\sqrt5}{2}(5\sqrt3+\sqrt{15})=\frac{5\sqrt3(\sqrt5+1)}{2}.$$
等号は $\theta=\varphi$ のときに成立し、$x_P=2\sqrt5\cos\varphi=4$ である。

(2) $Q$ の座標を $(x_Q,y_Q)$ とする。三角形 $QF_1F_2$ の内心は、各頂点をその頂点の対辺の長さで重み付けした点である。楕円上の点なので $QF_1+QF_2=2a=4\sqrt5$、また $F_1F_2=2c=2\sqrt5$。したがって内心の $y$ 座標は
$$y_I=\frac{F_1F_2}{QF_1+QF_2+F_1F_2}y_Q=\frac{2\sqrt5}{4\sqrt5+2\sqrt5}y_Q=\frac13y_Q,$$
ゆえに $y_Q=3y_I$。

焦点 $(0,y_Q)$、準線 $y=y_I$ の放物線が $Q$ を通るので、焦点までの距離と準線までの距離が等しい。$Q$ は第1象限にあり $y_I=\frac13y_Q$ だから
$$|x_Q|=y_Q-y_I=\frac23y_Q.$$
一方、楕円の式より $x_Q^2=20-\frac43y_Q^2$ である。両辺を二乗して
$$20-\frac43y_Q^2=\frac49y_Q^2, \qquad y_Q^2=\frac{45}{4}.$$
$Q$ は第1象限なので $y_Q>0$、したがって
$$y_Q=\frac{3\sqrt5}{2}.$$