1岐阜大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:2$ より $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$、また $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ である。重心 $\mathrm{G}$ より $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ なので、
$$\overrightarrow{\mathrm{QG}}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{(1-2s)\vec{a}+(1-s)\vec{b}+\vec{c}}{3}$$
である。

(2)

正四面体の各辺は 1 なので、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ である。例えば $|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=1$ から $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{2}$ となり、同様に 3 組の内積はすべて $\dfrac{1}{2}$ である。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QG}}=\dfrac{s}{9}(2\vec{a}+\vec{b})\cdot\left((1-2s)\vec{a}+(1-s)\vec{b}+\vec{c}\right)=\dfrac{s(6-7s)}{9}$$
である。内分点では $0<s<1$ なので、垂直条件は $s=\dfrac{6}{7}$ である。

(3)

$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}=\dfrac{|2\vec{a}+\vec{b}|^{2}}{9}=\dfrac{7}{9}$ より $|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ である。また $|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|^{2}=\dfrac{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}}{9}=\dfrac{2}{3}$ である。$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp\overrightarrow{\mathrm{QG}}$ だから
$$|\overrightarrow{\mathrm{QG}}|^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^{2}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{2}{21}$$
である。したがって $\triangle\mathrm{OQG}$ の面積は $\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{QG}}|=\dfrac{\sqrt{6}}{21}$ である。

(4)

直角三角形 $\mathrm{OQG}$ で $\tan\angle\mathrm{OGQ}=\dfrac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{QG}}=\sqrt{6}$ である。さらに $|\overrightarrow{\mathrm{PO}}|=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$、$|\overrightarrow{\mathrm{PG}}|=\dfrac{|\vec{c}-\vec{a}|}{3}=\dfrac{1}{3}$、$\overrightarrow{\mathrm{PO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PG}}=\dfrac{1}{9}$ なので、$\cos\angle\mathrm{OPG}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$、$\sin\angle\mathrm{OPG}=\sqrt{\dfrac{6}{7}}$ である。よって $\tan\angle\mathrm{OPG}=\sqrt{6}$ である。
各角は鋭角で、$\tan$ の値が $\sqrt{6}>1$ なので、和は $90^{\circ}$ より大きく $180^{\circ}$ 未満である。加法定理から
$$\tan(\angle\mathrm{OGQ}+\angle\mathrm{OPG})=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{6}}{1-6}=-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$$
である。