4獨協医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

再帰積分の核をanとbnの二つの定積分に分けて漸化式を作る。漸化式を二段合成して共通比を出し、f1とf2を初期値として奇数項・偶数項を表す。

定義から、$a_n$、$b_n$ を用いて
$$f_{n+1}(x)=\cos x\left((\sin x)a_n-b_n\right)$$
と書ける。

まず
$$a_1=\int_0^{\pi/3}\cos t\,dt=\frac{\sqrt3}{2},\qquad b_1=\int_0^{\pi/3}\sin t\cos t\,dt=\frac12\sin^2\frac{\pi}{3}=\frac38.$$
また、上の $f_{n+1}$ の式をそれぞれの定義積分に代入すると
$$\begin{aligned} a_{n+1} &=a_n\int_0^{\pi/3}\sin t\cos t\,dt-b_n\int_0^{\pi/3}\cos t\,dt =\frac38a_n-\frac{\sqrt3}{2}b_n,\\ b_{n+1} &=a_n\int_0^{\pi/3}\sin^2t\cos t\,dt-b_n\int_0^{\pi/3}\sin t\cos t\,dt =\frac{\sqrt3}{8}a_n-\frac38b_n. \end{aligned}$$$$a_{n+1}=a_n{\int }_0^{\pi /3}\sin t\cos tdt-b_n{\int }_0^{\pi /3}\cos tdt=\frac{3}{8}{a}_n-\frac{\sqrt{3}}{2}{b}_n,$$$$b_{n+1}=a_n{\int }_0^{\pi /3}{\sin }^{2}t\cos tdt-b_n{\int }_0^{\pi /3}\sin t\cos tdt=\frac{\sqrt{3}}{8}{a}_n-\frac{3}{8}{b}_n.$$
ここで $\int_0^{\pi/3}\sin^2t\cos t\,dt=\frac13\sin^3\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{8}$ を用いた。

この2式をもう一度代入すると
$$\begin{aligned} a_{n+2} &=\frac38\left(\frac38a_n-\frac{\sqrt3}{2}b_n\right) -\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac{\sqrt3}{8}a_n-\frac38b_n\right) =-\frac3{64}a_n,\\ b_{n+2} &=\frac{\sqrt3}{8}\left(\frac38a_n-\frac{\sqrt3}{2}b_n\right) -\frac38\left(\frac{\sqrt3}{8}a_n-\frac38b_n\right) =-\frac3{64}b_n. \end{aligned}$$$$a_{n+2}=\frac{3}{8}\left(\frac{3}{8}{a}_n-\frac{\sqrt{3}}{2}{b}_n\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{8}{a}_n-\frac{3}{8}{b}_n\right)=-\frac{3}{64}{a}_n,$$$$b_{n+2}=\frac{\sqrt{3}}{8}\left(\frac{3}{8}{a}_n-\frac{\sqrt{3}}{2}{b}_n\right)-\frac{3}{8}\left(\frac{\sqrt{3}}{8}{a}_n-\frac{3}{8}{b}_n\right)=-\frac{3}{64}{b}_n.$$
したがって (1) の係数は問題文の各枠に対応する。

(2) まず $n=1$ の定義と上の漸化式から
$$f_2(x)=\cos x\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x-\frac38\right) =\frac{\sqrt3}{4}\sin2x-\frac38\cos x.$$
さらに $a_{n+2}=-\frac3{64}a_n$、$b_{n+2}=-\frac3{64}b_n$ と $f_{n+1}(x)=\cos x(\sin x\,a_n-b_n)$ より、$n\geqq2$ では $f_{n+2}(x)=-\frac3{64}f_n(x)$ が成り立つ。$n=1$ の場合も、$a_2=0$、$b_2=\frac3{64}$ なので
$$f_3(x)=\cos x\left(\sin x\,a_2-b_2\right)=-\frac3{64}\cos x=-\frac3{64}f_1(x).$$
よって $f_{n+2}=-\frac3{64}f_n$ はすべての正の整数 $n$ で成り立つ。奇数番目は $f_1=\cos x$ から、偶数番目は上で求めた $f_2$ から繰り返し適用すると
$$f_n(x)=\left(-\frac3{64}\right)^{(n-1)/2}\cos x\quad(n\text{ は奇数}),$$
$$f_n(x)=\left(-\frac3{64}\right)^{n/2-1}\left(\frac{\sqrt3}{4}\sin2x-\frac38\cos x\right)\quad(n\text{ は偶数}).$$
したがって選択肢は奇数の場合が $\frac{n-1}{2}$（⑤）、偶数の場合が $\frac n2-1$（④）である。