2山形大学 2025年 数学 第2問解答・解説

絶対値関数を $x$ の符号と二次関数の零点で区分し、接線・定積分・二次方程式を用いて各小問を処理する。

(1)

$f(x)=(x-1)(x-2)$ は $1\leqq x\leqq2$ で $0$ 以下なので
$$S_{1}=-\displaystyle\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+2)\,dx=\dfrac{1}{6}.$$

(2)

$f'(x)=2x-3$ より、点 $(a,\,f(a))$ での接線は
$$y=(2a-3)(x-a)+a^{2}-3a+2=(2a-3)x-a^{2}+2.$$

(3)

定義式を場合分けすると
$$g(x)=\begin{cases}|3x+2| & (x<0),\\ |f(x)| & (x\geqq0).\end{cases}$$
$a\geqq2$ では、求める領域は $0\leqq x\leqq a$ にあり、曲線と接線の差は
$$g(x)-l(x)=\begin{cases}(x-a)^{2} & (0\leqq x\leqq1),\\ -x^{2}+(6-2a)x+a^{2}-4 & (1\leqq x\leqq2),\\ (x-a)^{2} & (2\leqq x\leqq a).\end{cases}$$
従って
$$\begin{aligned} S_{2}&=\displaystyle\int_{0}^{1}(x-a)^{2}\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}\{-x^{2}+(6-2a)x+a^{2}-4\}\,dx+\displaystyle\int_{2}^{a}(x-a)^{2}\,dx\\ &=\left(a^{2}-a+\dfrac{1}{3}\right)+\left(a^{2}-3a+\dfrac{8}{3}\right)+\dfrac{(a-2)^{3}}{3}=\dfrac{a^{3}+1}{3}. \end{aligned}$$$$S_2={\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx+{\int }_1^2\{-x^2+(6-2a)x+a^2-4\}dx+{\int }_2^a(x-a{)}^{2}dx$$$$=\left(a^2-a+\frac{1}{3}\right)+\left(a^2-3a+\frac{8}{3}\right)+\frac{(a-2{)}^3}{3}=\frac{a^3+1}{3}.$$
$S_{1}=\dfrac{1}{6}$ だから $S_{2}=56S_{1}=\dfrac{28}{3}$。よって $a^{3}=27$ であり、条件 $a\geqq2$ のもとで $a=3$ である。

(4)

$x<0$ では $|3x+2|=1$ より $x=-1,\,-\dfrac{1}{3}$。$x\geqq0$ では $|f(x)|=1$ を解く。$f(x)=1$ から
$$x^{2}-3x+1=0,\quad x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}.$$
一方、$f(x)=-1$ は $x^{2}-3x+3=0$ となり、判別式が $-3$ なので実数解を持たない。従って解は
$$x=-1,\,-\dfrac{1}{3},\,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.$$

(5)

$x<0$ では $g(x)\leqq1$ となる範囲は $-1\leqq x\leqq-\dfrac{1}{3}$ であり、その部分の面積は
$$\displaystyle\int_{-1}^{-\dfrac{1}{3}}(1-|3x+2|)\,dx=\dfrac{1}{3}.$$
$x\geqq0$ では $f(x)+1=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}>0$ だから、$|f(x)|\leqq1$ は $f(x)\leqq1$ と同値である。$\alpha=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$、$\beta=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ とおくと、この範囲は $\alpha\leqq x\leqq\beta$ である。また $\beta=3-\alpha$、$f(3-x)=f(x)$ より
$$\begin{aligned} S_{3}&=2\displaystyle\int_{\alpha}^{1}(1-f(x))\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(1+f(x))\,dx\\ &=2\cdot\dfrac{5\sqrt{5}-7}{12}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{5\sqrt{5}-2}{6}. \end{aligned}$$$$S_3=2{\int }_{\alpha }^1(1-f(x))dx+{\int }_1^2(1+f(x))dx$$$$=2\cdot \frac{5\sqrt{5}-7}{12}+\frac{5}{6}=\frac{5\sqrt{5}-2}{6}.$$
ここで $S_{3}$ は $x\geqq0$ の部分の面積である。従って全体の面積は
$$S_{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}.$$