2山形大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$a,\,b$ を正の定数とする。原点を $\mathrm{O}$ とする座標平面において、放物線 $y=x^{2}$ を $C$、直線 $y=ax$ を $L_{1}$、直線 $y=2ax+b$ を $L_{2}$ とする。放物線 $C$ と直線 $L_{1}$ との交点のうち、原点 $\mathrm{O}$ と異なる点を $\mathrm{P}_{1}$、放物線 $C$ と直線 $L_{2}$ との交点のうち、交点の $x$ 座標が負である点を $\mathrm{P}_{2}$ とする。また、放物線 $C$ と直線 $L_{1}$ で囲まれた図形の面積を $S_{1}$、放物線 $C$ と直線 $L_{2}$ で囲まれた図形の面積を $S_{2}$、$\triangle\mathrm{OP}_{1}\mathrm{P}_{2}$ の面積を $S_{3}$ とする。このとき、次の問に答えよ。

(1) $S_{1}$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $S_{2}$ を $a,\,b$ を用いて表せ。

(3) $S_{2}=64S_{1}$ のとき、$b$ を $a$ を用いて表せ。

(4) $S_{3}$ を $a,\,b$ を用いて表せ。