山形大学 2024年数学第4問解答・解説

1問題

山形大学2024年度第4問

自然数 n に対して、

\sqrt{n}

の整数部分を

a_{n}

とし

(n-a_{n}^{2})^{2}

を

b_{n}

とする。数列

\{b_{n}\}

の初項から第 n 項までの和を

S_{n}

とする。このとき、次の問に答えよ。

(1)

S_{10}

を求めよ。

(2) 自然数 k に対して

a_{n}=k

を満たす n の最大値と最小値を k を用いて表せ。

(3) 自然数 k に対して

n = k^{2}

のとき、

S_{n}

を k を用いて表せ。

(4)

S_{n}=7000

のとき、n を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$S_{10}=36,\quad k^2\leqq n\leqq k^2+2k,\quad S_{k^2}=\frac{k(k-1)(4k^2-1)}{6},\quad S_n=7000\Longrightarrow n=114$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

平方根の整数部分が一定となる平方区間ごとに

n

を

k^{2}+r

と表し、

b_{n}

を平方数の列として部分和を計算する。

解答

a_n=k

、すなわち

k^2\leqq n<(k+1)^2

。したがって

n=k^2+r\quad(0\leqq r\leqq2k)

とおくと

b_n=r^2

。

(1)

(b_1,\ldots,b_{10})=(0,1,4,0,1,4,9,16,0,1),\qquad S_{10}=36.

(2)

k^2\leqq n\leqq(k+1)^2-1=k^2+2k.

よって最小値は

k^2

、最大値は

k^2+2k

。

(3)

\begin{aligned} S_{k^2} &=\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{r=0}^{2j}r^2 =\sum_{j=1}^{k-1}\frac{2j(2j+1)(4j+1)}{6}\\ &=\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac83j^3+2j^2+\frac13j\right) =\frac{k(k-1)(4k^2-1)}{6}. \end{aligned}

S_{k^{2}} = j = 1 \sum k - 1 r = 0 \sum 2 j r^{2} = j = 1 \sum k - 1 \frac{2 j ( 2 j + 1 ) ( 4 j + 1 )}{6} = j = 1 \sum k - 1 (\frac{8}{3} j^{3} + 2 j^{2} + \frac{1}{3} j) = \frac{k ( k - 1 ) ( 4 k ^{2} - 1 )}{6} .

(4)

S_{10^2}=5985<7000<8855=S_{11^2}.

よって

n=100+r\quad(1\leqq r\leqq20)

。

7000-5985=1015=\sum_{i=1}^{14}i^2=\frac{14\cdot15\cdot29}{6}.

部分和は

r\geqq1

で正の項を加えるたびに大きくなるので

r=14,\ n=114

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

総和記号と数列の和

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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2答え

3解答

考え方

解答

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