3山形大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

直線 $\mathrm{BC}$ の傾きは $\dfrac{1-(-3)}{4-2}=2$。点 $\mathrm{A}$ を通る平行線は $y+1=2(x+3)$ であり、$y$ 軸との交点は $\mathrm{D}(0,\,5)$。

(2)

$\overrightarrow{\mathrm{DA}}=(-3,\,-6)$、$\overrightarrow{\mathrm{DC}}=(4,\,-4)$ より $\overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}}=-12+24=12$。

(3)

$\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}=(-3,\,-6)$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}=(4,\,-4)$ とおくと
$$|\vec{u}|^{2}=45,\quad |\vec{v}|^{2}=32,\quad \vec{u}\cdot\vec{v}=12.$$
$\vec{u}$ と $\vec{v}$ のなす角を $\theta$ とすると $\cos\theta=\dfrac{12}{\sqrt{45}\sqrt{32}}$。三角形の面積の公式から
$$\begin{aligned} \left(\triangle\mathrm{ACD}\right)^{2}&=\dfrac{1}{4}|\vec{u}|^{2}|\vec{v}|^{2}\sin^{2}\theta\\ &=\dfrac{1}{4}\left(45\cdot32-12^{2}\right)=324. \end{aligned}$$$${\left(△\mathrm{ACD}\right)}^2=\frac{1}{4}|\vec{u}{|}^2|\vec{v}{|}^2{\sin }^2\theta$$$$=\frac{1}{4}\left(45\cdot 32-12^2\right)=324.$$
面積は正なので $\triangle\mathrm{ACD}=18$。

(4)

$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=3:4$ だから $\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\dfrac{4\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{7}$。成分で計算すると $x=\dfrac{-12+12}{7}=0$、$y=\dfrac{-4+3}{7}=-\dfrac{1}{7}$。

(5)

点 $\mathrm{H}$ は線分 $\mathrm{BC}$ 上にあるから、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ と表せる。座標で書くと $\mathrm{H}(2+2t,\,-3+4t)$。$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(2,\,4)$ で、$\overrightarrow{\mathrm{EH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ より $\overrightarrow{\mathrm{EH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$、すなわち $20t-\dfrac{52}{7}=0$。よって $t=\dfrac{13}{35}$ であり、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\dfrac{22}{35}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac{13}{35}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ となる。$0<t<1$ なので、垂足は線分 $\mathrm{BC}$ 上にある。