4山形大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(2)(3)(4) は、隣り合う項の差の和が打ち消し合う（$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{f(k+1)-f(k)\}=f(n+1)-f(1)$）ことを使う。(5) は $s=S_{1}(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とおき、$S_{5}(n)$ が 6 次式であることから $s$ の 3 次以下の式と見当をつけ、差 $S_{5}(n)-S_{5}(n-1)=n^{5}$ が成り立つことを確かめる。

(1)

$S_{0}(22)=22$、$S_{1}(22)=\dfrac{22\cdot23}{2}=253$、$S_{2}(22)=\dfrac{22\cdot23\cdot45}{6}=3795$、$S_{3}(22)=253^{2}=64009$。

(2)

和は打ち消し合って
$$(2n+4)^{4}-4^{4}=16\{(n+2)^{4}-16\}=16\{(n+2)^{2}-4\}\{(n+2)^{2}+4\}=16n(n+4)(n^{2}+4n+8).$$

(3)

与えられた式を $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$ について足すと、左辺は $(n+1)^{5}-1$ だから
$$(n+1)^{5}-1=5S_{4}(n)+10S_{3}(n)+10S_{2}(n)+5S_{1}(n)+S_{0}(n).$$
よって $5S_{4}(n)+1=(n+1)^{5}-10S_{3}(n)-10S_{2}(n)-5S_{1}(n)-S_{0}(n)$ で、ア $1$、イ $-10$、ウ $-10$、エ $-5$、オ $-1$。

(4)

同様に足すと
$$(n+1)^{6}-1=6S_{5}(n)+15S_{4}(n)+20S_{3}(n)+15S_{2}(n)+6S_{1}(n)+S_{0}(n).$$
(3) より $S_{4}(n)$ は 5 次式で、$S_{3}(n),\,\cdots,\,S_{0}(n)$ は 4 次以下だから、$6S_{5}(n)$ の 6 次の項は $(n+1)^{6}$ の 6 次の項 $n^{6}$ に等しい。よって最高次数の項は $\dfrac{1}{6}n^{6}$。

(5)

$s_{n}=S_{1}(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とし、$T(n)=\dfrac{4}{3}s_{n}^{3}-\dfrac{1}{3}s_{n}^{2}$ とおく。$T(0)=0$ で、$s_{n-1}=s_{n}-n$ だから
$$T(n)-T(n-1)=\dfrac{1}{3}\left\{4(3s_{n}^{2}n-3s_{n}n^{2}+n^{3})-(2s_{n}n-n^{2})\right\}.$$
$s_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$ を代入すると、中かっこの中は
$$3n^{3}(n+1)^{2}-6n^{3}(n+1)+4n^{3}-n^{2}(n+1)+n^{2}=3n^{5}$$
となり、$T(n)-T(n-1)=n^{5}$。よって $T(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{5}=S_{5}(n)$ で
$$S_{5}(n)=\dfrac{4}{3}\{S_{1}(n)\}^{3}-\dfrac{1}{3}\{S_{1}(n)\}^{2}.$$
$S_{1}(n)$ は無限に多くの値をとるので、$\{S_{1}(n)\}$ の多項式としての表し方は 1 通りである。したがって カ $0$、キ $0$、ク $\dfrac{4}{3}$、ケ $-\dfrac{1}{3}$、コ $0$。

（$n=2$ のとき $S_{1}=3$ で $\dfrac{4}{3}\cdot27-\dfrac{1}{3}\cdot9=33=1+32$ と一致する。）