5山形大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)

$f^\prime(x)=\{(2x+2)-(x^2+2x-1)\}e^{-x}=(3-x^2)e^{-x}$ である。
$e^{-x}>0$ なので符号は $x<-\sqrt3$ で負、$-\sqrt3<x<\sqrt3$ で正、$x>\sqrt3$ で負である。
よって $x=-\sqrt3$ で極小、$x=\sqrt3$ で極大である。$f$ への代入でそれぞれ $(2-2\sqrt3)e^{\sqrt3}$、$(2+2\sqrt3)e^{-\sqrt3}$ を得る。

(2)

$f^{\prime\prime}(x)=\{-2x-(3-x^2)\}e^{-x}=(x-3)(x+1)e^{-x}$ である。
$x=-1,3$ でのみ $0$ となり、両点で符号が変わるのでともに変曲点である。
$f(-1)=-2e$、$f(3)=14e^{-3}$ より座標は結論のとおりである。

(3)

接点の $x$ 座標を $t$ とすると接線は $y=f^\prime(t)(x-t)+f(t)$ である。原点を通る条件は $f(t)-tf^\prime(t)=0$ である。
計算して $f(t)-tf^\prime(t)=(t^3+t^2-t-1)e^{-t}=(t+1)^2(t-1)e^{-t}$ となる。
したがって $t=-1,1$ のみである。傾きはそれぞれ $f^\prime(-1)=2e$、$f^\prime(1)=\frac2e$ なので、接線は $y=2ex$ と $y=\frac2e x$ である。

(4)

部分積分で $\int xe^{-x}\,dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}+C_1$ である。
さらに $\int x^2e^{-x}\,dx=-x^2e^{-x}+2\int xe^{-x}\,dx=-(x^2+2x+2)e^{-x}+C_2$ である。
いずれも微分して被積分関数へ戻る。

(5)

接点の $x$ 座標が小さいのは $t=-1$ なので $L:y=2ex$ である。
$-1<x<0$ では $f^{\prime\prime}(x)<0$ であり、$f$ は上に凸（凹）なので接線 $L$ が曲線の上側にある。
接点 $(-1,-2e)$ から $y$ 軸までの囲まれた部分の面積は $S=\int_{-1}^0\{2ex-f(x)\}\,dx$ である。
(4) を用いると $f$ の原始関数は $-(x^2+4x+3)e^{-x}$ である。したがって $\int_{-1}^0f(x)\,dx=-3-0=-3$ となる。
また $\int_{-1}^02ex\,dx=-e$ なので $S=-e-(-3)=3-e$ である。
この区間では $L-f$ は接点以外で正であり、図形を一意に定める。