1山形大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

図を格子座標で $A=(0,0)$、$B=(2,1)$、$C=(3,0)$、$D=(3,2)$、$E=(4,3)$ と読む。東西は $4$ 区画、南北は $3$ 区画である。
$3$ 回で $B$ に達するには東 $2$ 回・北 $1$ 回の $3$ 移動が必要で、「留まる」は使えない。並べ方は ${}_{3}\mathrm{C}_{1}=3$ 通りである。
各カード列は $\frac1{3^3}$ の確率なので $\frac3{27}=\frac19$ である。

(2)

$D$ に達する最短移動は東 $3$ 回・北 $2$ 回でちょうど $5$ 回である。
$5$ 回で $C$ を通り $D$ にいるには、$C=(3,0)$ まで東東東、その後 $D$ まで北北という $1$ 列しかない。
したがって確率は $\frac1{3^5}=\frac1{243}$ である。

(3)

$5$ 回で $D$ へ達するカード列は東 $3$ 回・北 $2$ 回の ${}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$ 通りである。
このうち $B$ を通る列は、$A$ から $B$ まで東 $2$ 回・北 $1$ 回が ${}_{3}\mathrm{C}_{1}=3$ 通り、$B$ から $D$ まで東 $1$ 回・北 $1$ 回が $2$ 通りなので $6$ 通りである。
よって $B$ を通らないのは $10-6=4$ 通りで、確率は $\frac4{3^5}=\frac4{243}$ である。

(4)

$D=(3,2)$ は境界 $x=4,y=3$ に達していない。北または東へ動くと座標は戻らないため、途中でこれらの境界を越えてから $D$ へ戻ることもない。
したがって $6$ 回で $D$ にいるには、東 $3$ 回・北 $2$ 回と「留まる」$1$ 回のカードを引くしかない。
その並べ方は $\frac{6!}{3!2!1!}=60$ 通りである。確率は $\frac{60}{3^6}=\frac{20}{243}$ である。

(5)

$A$ から $E=(4,3)$ まで最短で $7$ 移動必要なので、$7$ 回操作で $E$ にいる列は東 $4$ 回・北 $3$ 回で、停留カードも移動不能による停留もない。
$B=(2,1)$ と $C=(3,0)$ は、東・北だけの経路では両方を通れない。したがって $3$ 点のうち $2$ つを通るのは $B,D$ を通る場合か $C,D$ を通る場合のみで、両者は排反である。
$B,D$ を通る列は $(A\to B)$ の $3$ 通り、$(B\to D)$ の $2$ 通り、$(D\to E)$ の $2$ 通りを掛けて $12$ 通りである。
$C,D$ を通る列は $(A\to C)$ の $1$ 通り、$(C\to D)$ の $1$ 通り、$(D\to E)$ の $2$ 通りを掛けて $2$ 通りである。
合計 $14$ 通りなので $\frac{14}{3^7}=\frac{14}{2187}$ である。