3山形大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OB}$ と略記する。$|3\vec a-\vec b|^2=9|\vec a|^2+|\vec b|^2-6\vec a\cdot\vec b$ である。
条件より $15=36+9-6\vec a\cdot\vec b$ なので $\vec a\cdot\vec b=5$ である。

(2)

$\triangle OAB$ の面積は $\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\frac12\sqrt{4\cdot9-25}=\frac{\sqrt{11}}2$ である。
$\overrightarrow{OC}=3\vec a-\vec b$ なので、$OB$ を底辺としたとき $C$ の直線 $OB$ からの高さは $A$ の高さの $3$ 倍となる（$-\vec b$ は底辺方向の平行移動）。
したがって $\triangle OBC$ の面積は $3$ 倍の $\frac{3\sqrt{11}}2$ である。

(3)

$\vec d=\overrightarrow{OD}$ と略記する。$P$ は線分 $DH$ 上にあり $DH\perp OB$ なので $\overrightarrow{DP}\perp\vec b$ である。
与えられた $\overrightarrow{DP}=\frac12\vec b-\frac34\vec d$ との内積をとると、$0=\frac12|\vec b|^2-\frac34\vec b\cdot\vec d=\frac92-\frac34\vec b\cdot\vec d$ となる。
よって $\vec b\cdot\vec d=6$ である。

(4)

$DP=3$ を $2$ 乗し、(3) の内積を代入する。
$$9=\left|\frac12\vec b-\frac34\vec d\right|^2 =\frac94+\frac9{16}|\vec d|^2-\frac34\cdot6 =\frac9{16}|\vec d|^2-\frac94.$$
したがって $|\vec d|^2=20$、長さは $OD=2\sqrt5$ である。

(5)

$H$ は $D$ から $OB$ への垂足なので $\overrightarrow{OH}=u\vec b$ として、$(\vec d-u\vec b)\cdot\vec b=0$ より $u=\frac{\vec d\cdot\vec b}{|\vec b|^2}=\frac69=\frac23$ である。
したがって $\overrightarrow{DH}=\frac23\vec b-\vec d$ である。
与えられた $\overrightarrow{DP}=\frac12\vec b-\frac34\vec d=\frac34\left(\frac23\vec b-\vec d\right)=\frac34\overrightarrow{DH}$ である。
よって $P$ は $DH$ を $D$ から $\frac34$ の位置に内分し、$DP:PH=3:1$ である。