III鳥取大学 2022年 数学 第III問解答・解説

三角関数の恒等式で媒介曲線を扱いやすくし、媒介変数による微分と面積積分を用いる。

(1)　 $s=\sin t$ とおくと $0\leqq s\leqq1$ であり、$\cos 2t=1-2\sin^2t$ より
$$f(t)=2s-2s^2=\frac12-2\left(s-\frac12\right)^2\leqq\frac12.$$
$s=\frac12$（すなわち $t=\frac{\pi}{6}$）のとき等号となるから、最大値は $\frac12$ である。

(2)　 $y=1$ は $1-\cos2t=1$、すなわち $\cos2t=0$ を意味する。$0\leqq t\leqq\frac\pi2$ なので $t=\frac\pi4$ である。このとき
$$(x,y)=\left(2\sin\frac\pi4+\cos\frac\pi2-1,1\right)=(\sqrt2-1,1).$$
媒介変数表示の微分から
$$\frac{dx}{dt}=2\cos t-2\sin2t,\qquad \frac{dy}{dt}=2\sin2t.$$
$t=\frac\pi4$ では $\frac{dx}{dt}=\sqrt2-2\ne0$、$\frac{dy}{dt}=2$ だから、接線の傾きは
$$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{\sqrt2-2}=-(2+\sqrt2).$$
よって接線は
$$y-1=-(2+\sqrt2)\{x-(\sqrt2-1)\},\qquad\text{すなわち } y=-(2+\sqrt2)x+1+\sqrt2.$$

(3)　 $u=\sin t$ とおけば $0\leqq u\leqq1$ であり、曲線上では
$$x=2u(1-u)\geqq0,\qquad y=2u^2.$$
したがって $t=0$ と $t=\frac\pi2$ で曲線はそれぞれ $(0,0)$ と $(0,2)$ を通り、その間で $y$ は増加する。領域の面積は $y$ 軸から曲線までの横幅を積分して
$$S=\int_C x\,dy=\int_0^1 2u(1-u)\frac{dy}{du}\,du =\int_0^1 8u^2(1-u)\,du =8\left(\frac13-\frac14\right)=\frac23.$$
ゆえに $S=\frac23$ である。