3昭和医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

円周上の点の角度表示と直線の傾きから交点を表し、h=1−tに置き換えて極限を評価する。積分は部分積分で漸化式を作り、四分円の面積を初期値に用いる。

(1) (1-1) 時刻 $t$ における $Q$ の偏角は，角速度が $\frac\pi2$ で初期偏角が0であるから $\theta=\frac{\pi t}{2}$ である。したがって
$$P=(0,t),\qquad Q=\left(\cos\frac{\pi t}{2},\sin\frac{\pi t}{2}\right).$$
$0\leqq t<1$ では $\cos\frac{\pi t}{2}>0$。直線 $PQ$ の傾きは
$$m=\frac{\sin(\pi t/2)-t}{\cos(\pi t/2)}$$
なので，$x=-1$ における $y$ 座標は $t-m$ である。よって
$$R=\left(-1,\ t-\frac{\sin(\pi t/2)-t}{\cos(\pi t/2)}\right).$$
$t=0$ では $P=(0,0),Q=(1,0)$ となり，この式は $R=(-1,0)$ を与える。
(1-2) $h=1-t$ とおくと，$h\to0+$ のとき $\alpha=\frac{\pi h}{2}\to0+$ である。傾きは
$$\begin{aligned} m&=\frac{\cos\alpha-(1-h)}{\sin\alpha} =\frac{h}{\sin\alpha}-\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ &=\frac{h}{\sin(\pi h/2)}-\tan\frac{\pi h}{4}\longrightarrow\frac{2}{\pi}. \end{aligned}$$$$m=\frac{\cos \alpha -(1-h)}{\sin \alpha }=\frac{h}{\sin \alpha }-\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$$$$=\frac{h}{\sin (\pi h/2)}-\tan \frac{\pi h}{4}⟶\frac{2}{\pi }.$$
ここで $u=\dfrac{\pi h}{2}$ とおき、$\dfrac{\sin u}{u}\to1$ を用いた。したがって $y_R=t-m\to1-\frac{2}{\pi}$ であり，
$$R\longrightarrow\left(-1,1-\frac{2}{\pi}\right).$$
(2) (2-1) $y=\sqrt{1-x^2}$ は単位円 $x^2+y^2=1$ の第1象限の弧であり，$I_1$ はその下側の面積である。よって
$$I_1=\frac{1}{4}\pi\cdot1^2=\frac{\pi}{4}.$$
(2-2) 部分積分を用いると，$n$ は正の整数なので
$$\begin{aligned} I_{n+2}&=\int_0^1(1-x^2)^{(n+2)/2}\,dx\\ &=\left[x(1-x^2)^{(n+2)/2}\right]_0^1+(n+2)\int_0^1x^2(1-x^2)^{n/2}\,dx\\ &=(n+2)\int_0^1x^2(1-x^2)^{n/2}\,dx. \end{aligned}$$$$I_{n+2}={\int }_0^1(1-x^2{)}^{(n+2)/2}dx$$$$={\left[x(1-x^2{)}^{(n+2)/2}\right]}_0^1+(n+2){\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n/2}dx$$$$=(n+2){\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n/2}dx.$$
境界項は両端で0である。一方
$$I_n=\int_0^1\left((1-x^2)+x^2\right)(1-x^2)^{n/2}\,dx =I_{n+2}+\int_0^1x^2(1-x^2)^{n/2}\,dx.$$
したがって
$$I_n=I_{n+2}+\frac{I_{n+2}}{n+2}=\frac{n+3}{n+2}I_{n+2}, \qquad I_{n+2}=\frac{n+2}{n+3}I_n.$$
(2-3)
$$I_3=\frac{3}{4}I_1=\frac{3\pi}{16},\qquad I_5=\frac{5}{6}I_3=\frac{5\pi}{32}.$$
検算として $x=\sin u$ と置けば $I_5=\int_0^{\pi/2}\cos^6u\,du$ となり，偶数乗の積分公式からも $\frac{5\pi}{32}$ を得る。