III愛知医科大学 2022年 数学 第III問解答・解説

cos xの零点を特定し、部分積分で原始関数を求める。定積分の加法性で和を一つの積分にまとめ、終点の指数減衰から極限を求める。

$e^{-x}>0$ だから，曲線 $y=e^{-x}\cos x$ と $x$ 軸との交点は $\cos x=0$ となる点である。したがって，原点に近い順に
$$x_k=\left(k-\frac12\right)\pi\quad(k=1,2,\ldots)$$
である。

1) 部分積分を2回行う。$J=\int e^{-x}\sin x\,dx$ とおくと，
$$\begin{aligned} \int e^{-x}\cos x\,dx&=-e^{-x}\cos x-J,\\ J&=-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos x\,dx. \end{aligned}$$$$\int e^{-x}\cos xdx=-e^{-x}\cos x-J,$$$$J=-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos xdx.$$
よって両式から
$$\int e^{-x}\cos x\,dx=\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)+C.$$

2) 上の原始関数を $F(x)=\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)$ とおく。定積分の加法性から
$$\sum_{k=1}^{n}I_k=\int_{0}^{x_n}e^{-x}\cos x\,dx=F(x_n)-F(0).$$
$x_n=(n-\frac12)\pi$ では $\cos x_n=0$，$\sin x_n=(-1)^{n-1}$ である。また $F(0)=-\frac12$ だから
$$\sum_{k=1}^{n}I_k=\frac12(-1)^{n-1}e^{-(n-\frac12)\pi}+\frac12.$$
指数部分は $n\to\infty$ で0に収束するので，求める極限は
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}I_k=\frac12.$$