III鳥取大学 2025年 数学 第III問解答・解説

(1)

曲線と直線の交点では
$$\dfrac{1}{16}(k^{2}-4)^{2}=t$$
が成り立つ。したがって
$$k^{2}-4=\pm4\sqrt{t},\qquad k^{2}=4\pm4\sqrt{t}.$$
条件 $0\leqq t\leqq1$ より $4-4\sqrt{t}\geqq0$ なので、どちらも交点の $k^{2}$ として実現する。ただし $t=0$ では両者は $4$ に一致する。

(2)

回転体を高さ $y$ で切る。$0\leqq y\leqq t\leqq1$ において、曲線より下側にある領域の半径 $r=|x|$ は
$$\dfrac{1}{16}(r^{2}-4)^{2}\leqq y$$
を満たす。すなわち
$$4-4\sqrt{y}\leqq r^{2}\leqq4+4\sqrt{y}.$$
よって断面は、内半径 $\sqrt{4-4\sqrt{y}}$、外半径 $\sqrt{4+4\sqrt{y}}$ の円環である。左右の領域は $y$ 軸回転後に同じ円環を作るので、断面積を二重に数えない。したがって
$$V(t)=\int_{0}^{t}\pi\left\{(4+4\sqrt{y})-(4-4\sqrt{y})\right\}\,dy=8\pi\int_{0}^{t}\sqrt{y}\,dy=\dfrac{16\pi}{3}t^{\frac{3}{2}}.$$

(3)

この式は $t=0$ でも $V(0)=0$ となる。さらに $0\leqq t\leqq1$ では $t^{\frac{3}{2}}\geqq0$ であり、等号は $t=0$ のときに限る。よって最小値は $0$、そのとき $t=0$ である。