II鳥取大学 2025年 数学 第II問解答・解説

$a$ を実数の定数とする。$O$ を原点とする座標平面上を運動する点 $P$ の時刻 $t$ における座標 $(x,y)$ が $t$ の関数として
$$x=e^{at}\cos t,\qquad y=e^{at}\sin t$$
で表されるとき、時刻 $t$ における点 $P$ の速度を $\vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)$ で表す。以下の問いに答えよ。

(1) $\frac{dx}{dt}$ および $\frac{dy}{dt}$ を求めよ。

(2) 時刻 $t$ における点 $P$ の速さ $|\vec{v}|$ を求めよ。

(3) $\vec{p}=\overrightarrow{OP}$ とおく。時刻 $t$ において、$\vec{p}$ と $\vec{v}$ のなす角を $\theta$（$0\leqq\theta\leqq\pi$）とする。$\cos\theta$ を $a$ を用いて表し、$\theta$ は $t$ によらない定数であることを示せ。

(4) (3)で定めた角 $\theta$ の値が $\theta=\frac{\pi}{6}$ であるとき、定数 $a$ を求めよ。