I鳥取大学 2025年 数学 第I問解答・解説

(1)

公比を $r$ とする。すべての自然数 $n$ について $a_{n}>0$ なので $r>0$ である。また
$$2560(1+r+r^{2})=4480$$
より $r^{2}+r-\dfrac{3}{4}=0$、すなわち $\left(r-\dfrac{1}{2}\right)\left(r+\dfrac{3}{2}\right)=0$。$r>0$ だから $r=\dfrac{1}{2}$ であり、
$$a_{n}=2560\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=5\cdot2^{10-n}.$$

(2)

$L=\log_{2}5$ とおくと
$$\log_{2}a_{k}=L+10-k,\qquad S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(L+10-k)=\dfrac{n}{2}(2L+19-n),\qquad S_{n+1}-S_{n}=L+9-n.$$
$2^{2}<5<2^{3}$ より $2<L<3$。したがって差 $S_{n+1}-S_{n}$ は $n\leqq11$ で正、$n\geqq12$ で負である。よって $S_{n}$ は $n=12$ で最大となる。

(3)

次に、問題で与えられた $\log_{10}2=0.301$ を用いると
$$L=\dfrac{\log_{10}5}{\log_{10}2}=\dfrac{0.699}{0.301}=\dfrac{699}{301},\qquad 2L+19=\dfrac{7117}{301}=23+\dfrac{194}{301}.$$
ゆえに $S_{n}>0$ は $n\leqq23$ のとき、$S_{n}<0$ は $n\geqq24$ のときである。正の範囲では、差の符号から最小の候補は端の $n=1$、$n=23$ である。負の範囲では $S_{n}$ は減少し続けるので、$|S_{n}|$ の最小の候補は $n=24$ である。候補を与えられた対数値で比べると
$$S_{1}=\dfrac{3408}{301},\qquad S_{23}=\dfrac{2231}{301},\qquad |S_{24}|=\dfrac{1284}{301}.$$
したがって $|S_{n}|$ が最小となるのは $n=24$ のときである。