IV鳥取大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

(1)

放物線を $y=f(x)=\dfrac{x^{2}}{2a}$ とおくと、$f'(x)=\dfrac{x}{a}$ である。したがって、$\mathrm{T}=\left(t,\dfrac{t^{2}}{2a}\right)$ における接線の傾きは $\dfrac{t}{a}$、法線の傾きは $-\dfrac{a}{t}$ である。よって
$$n_{t}:\quad y-\dfrac{t^{2}}{2a}=-\dfrac{a}{t}(x-t).$$

(2)

法線 $n_{t}$ の方向ベクトルを $\vec{u}=(1,k)$、$k=-\dfrac{a}{t}$ とする。反射前の直線 $x=t$ の方向ベクトルは $\vec{v}=(0,1)$ である。$\vec{v}$ の $\vec{u}$ 方向の成分は $\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u}$ であり、反射ではそれを保って垂直成分を反転する。したがって反射後の方向ベクトルは
$$\vec{v}\,'=2\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u}-\vec{v} =\left(\dfrac{2k}{1+k^{2}},\ \dfrac{k^{2}-1}{1+k^{2}}\right).$$
第一成分は $k\ne 0$ より 0 でないので、傾きは
$$\dfrac{k^{2}-1}{2k}=\dfrac{t^{2}-a^{2}}{2at}.$$

(3)

$\mathrm{T}$ は $x=t$ と反射軸 $n_{t}$ の交点なので、反射で動かず、反射像の直線 $\ell_{t}$ 上にある。よって
$$y-\dfrac{t^{2}}{2a}=\dfrac{t^{2}-a^{2}}{2at}(x-t).$$
これを整理すると
$$\ell_{t}:\quad y=\dfrac{t^{2}-a^{2}}{2at}\,x+\dfrac{a}{2}$$
となり、したがってすべての $t\ne 0$ について $\ell_{t}$ は定点 $\left(0,\dfrac{a}{2}\right)$ を通る。