II鳥取大学 2023年 数学 第II問解答・解説

(1) $x=\cos\theta$ とおくと、倍角・三倍角・四倍角の公式から
$$\cos\theta+\cos2\theta+\cos3\theta+\cos4\theta =2x(4x^3+2x^2-3x-1) =2x(x+1)(4x^2-2x-1).$$
$0<\theta<\frac\pi2$ より $x>0$ であるから、$4x^2-2x-1=0$。その解は
$$x=\frac{1\pm\sqrt5}{4}$$
で、区間 $0<x<1$ に入るのは正の方だけである。よって
$$\cos\theta=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$

(2) $u=2\cos\theta=\frac{1+\sqrt5}{2}$、$v=1-2\cos\theta=\frac{1-\sqrt5}{2}$ とおくと、$u+v=1$、$uv=-1$ である。従って $u^2=u+1$、$v^2=v+1$ であり、
$$a_{n+2}=u^{n+2}+v^{n+2} =u^{n+1}+u^n+v^{n+1}+v^n =a_{n+1}+a_n.$$
なお $a_1=u+v=1$、$a_2=u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=3$。

(3) $D_n=a_na_{n+2}-a_{n+1}^2$ とおく。(2)の漸化式より
$$\begin{aligned} D_n&=(a_{n+2}-a_{n+1})a_{n+2}-a_{n+1}^2\\ &=a_{n+2}^2-a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}^2,\\ D_{n+1}&=a_{n+1}(a_{n+2}+a_{n+1})-a_{n+2}^2\\ &=-D_n. \end{aligned}$$$$D_n=(a_{n+2}-a_{n+1})a_{n+2}-a_{n+1}^2$$$$=a_{n+2}^2-a_{n+1}{a}_{n+2}-a_{n+1}^2,$$$$D_{n+1}=a_{n+1}(a_{n+2}+a_{n+1})-a_{n+2}^2$$$$=-D_n.$$
ゆえに $(-1)^{n+1}D_{n+1}=(-1)^nD_n$ であり、求める量は $n$ によらない。$a_1=1$、$a_2=3$、$a_3=a_1+a_2=4$ より
$$(-1)^1(a_1a_3-a_2^2)=- (4-9)=5.$$
したがってその定数値は $5$。