III鳥取大学 2023年 数学 第III問解答・解説

(1) 交点は $\sqrt{x}=x$ より $(0,0),(1,1)$。$0\leqq x\leqq1$ では $\sqrt{x}\geqq x$ なので，面積は
$$\int_0^1(\sqrt{x}-x)dx=\frac23-\frac12=\boxed{\frac16}.$$
(2) 直線 $\ell$ は $x-y=0$ だから，点と直線の距離の公式より
$$PQ=\frac{|x-\sqrt{x}|}{\sqrt2}=\boxed{\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt2}}.$$
(3) 回転軸に沿った座標を $u=(x+y)/\sqrt2$，軸からの距離を $v=(y-x)/\sqrt2$ とする。曲線上を $P=(t^2,t)$（$0\leqq t\leqq1$）で表すと
$$u=\frac{t^2+t}{\sqrt2},\qquad v=\frac{t-t^2}{\sqrt2},\qquad \frac{du}{dt}=\frac{2t+1}{\sqrt2}>0.$$
従って軸に垂直な直線は曲線と1点で交わり，囲まれた図形の断面は軸からその点までの線分となる。回転後の断面は半径 $v$ の円盤である。厚さは $dx$ ではなく軸方向の $du$ であることに注意して
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_0^{\sqrt2}v^2du =\frac{\pi}{2\sqrt2}\int_0^1(t-t^2)^2(2t+1)dt\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt2}\int_0^1(2t^5-3t^4+t^2)dt\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt2}\left(\frac13-\frac35+\frac13\right) =\boxed{\frac{\sqrt2\pi}{60}}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}{v}^{2}du=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{\int }_0^1(t-t^2{)}^2(2t+1)dt$$$$=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{\int }_0^1(2t^5-3t^4+t^2)dt$$$$=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\right)=\boxed{\frac{\sqrt{2}\pi }{60}}.$$