3岐阜大学 2023年 数学 第3問解答・解説

奇数の札は $1,\,3,\,5$ の 3 枚、偶数の札は $2,\,4,\,6$ の 3 枚である。積が奇数になるのは、積に使うすべての数が奇数のときに限る。全部の並べ方は $6!=720$ 通りである。

(1) $a_{1}$（上列の積）が奇数になるのは、上列の 3 マスに奇数の札がすべて入るときである。上列に $1,\,3,\,5$ を並べる方法は $3!=6$ 通り、下列に $2,\,4,\,6$ を並べる方法は $3!=6$ 通りである。よって
$$3!\cdot 3!=36$$
から、$36$ 通り。

(2) $a_{1}$ が偶数になるのは、(1) の場合を除いたときである。よって
$$720-36=684$$
から、$684$ 通り。

(3) $b_{1}$（左列の積）が奇数になるのは、左列の 2 マスに奇数の札が入るときである。奇数の札 3 枚から 2 枚を選んで左列の上下に並べる方法は ${}_{3}\mathrm{P}_{2}=6$ 通りである。残りの 4 枚は残りの 4 マスに $4!=24$ 通りで並ぶ。したがって $b_{1}$ が奇数になるのは $6\cdot 24=144$ 通りで、偶数になるのは
$$720-144=576$$
から、$576$ 通り。

(4) $a_{1}$ と $a_{2}$ がともに偶数になるのは、上列に偶数の札が 1 枚以上あり、かつ下列にも偶数の札が 1 枚以上あるときである。これは、上列が奇数だけになる場合、または下列が奇数だけになる場合を除いたものである。上列が奇数だけの並べ方は $3!\cdot 3!=36$ 通り、下列が奇数だけの並べ方も $36$ 通りである。両方が同時に起こることはない（奇数の札は 3 枚しかないため）。よって
$$720-36-36=648$$
から、$648$ 通り。

(5) $b_{1}$、$b_{2}$、$b_{3}$ がすべて偶数になるには、3 列それぞれに偶数の札が 1 枚以上必要である。偶数の札は 3 枚しかないので、各列にちょうど 1 枚ずつ入る。各列で偶数の札を上列に置くか下列に置くかの選び方は $2^{3}=8$ 通りである。このうち、3 枚とも下列（上列が奇数だけ）になる場合と、3 枚とも上列（下列が奇数だけ）になる場合の 2 通りは、(4) の条件を満たさないので除く。残りの $8-2=6$ 通りのそれぞれについて、偶数の札 3 枚の並べ方が $3!$ 通り、奇数の札 3 枚の並べ方が $3!$ 通りある。よって
$$(8-2)\cdot 3!\cdot 3!=216$$
から、$216$ 通り。