5岐阜大学 2025年 数学 第5問解答・解説

$t=e^x>0$ と置く。
(1) $x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2$。
(2) $f'(x)=e^x(3e^x-4)(e^x-2)$ なので、導関数の符号は $t=4/3,2$ を境に正・負・正となる。したがって $x=\log(4/3)$ で極大値 $4/27$、$x=\log2$ で極小値 $0$ をとる。
(3) 共有点の条件は $t^2-5t+8-k=0$ である。異なる正の2解をもつ条件は、判別式 $4k-7>0$、和 $5>0$、積 $8-k>0$ であるから $\boxed{7/4<k<8}$。
(4) この2解を $0<a<b$ とすると、両曲線の差は $t(t-a)(b-t)$、$dx=dt/t$ である。よって面積は
$$S=\int_a^b(t-a)(b-t)\,dt=\frac{(b-a)^3}{6}.$$
$b-a=\sqrt{4k-7}$ なので、$S=9$ は $b-a=3\sqrt[3]2$ と同値。したがって
$$\boxed{k=\frac{7+9\sqrt[3]4}{4}}.$$
この値は $7/4<k<8$ を満たす。