2滋賀医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$O,A,B$ が一直線上にないので、$\theta=\angle AOB$ は $0<\theta<\pi$。
$$a=OA,\quad b=OB,\quad x=OP,\quad y=OQ$$
とおくと、すべて正であり、$\angle POQ=\theta$。従って
$$[T]=\frac12 ab\sin\theta,\qquad [U]=\frac12 xy\sin\theta.$$

(1) 面積が等しいので $xy=ab$。さらに $x+y=a+b$ より、$x,y$ は
$$z^2-(a+b)z+ab=(z-a)(z-b)=0$$
の2根である。したがって $(x,y)=(a,b)$ または $(b,a)$。いずれの場合も三角形 $T,U$ の2辺とその間の角が一致するので、SASにより合同。

(2) 面積等値より $xy=ab$。余弦定理と $PQ=AB$ から
$$x^2+y^2-2xy\cos\theta=a^2+b^2-2ab\cos\theta,$$
よって $x^2+y^2=a^2+b^2$。これと $xy=ab$ を合わせると
$$(x+y)^2=(a+b)^2.$$
両辺の和は正だから $x+y=a+b$。(1)と同じ議論で合同となる。

(3) $x+y=s$ を一定とすると
$$xy=\frac{s^2-(x-y)^2}{4}\leqq\frac{s^2}{4},$$
等号は $x=y=s/2$ のときに成立する。この正の長さは条件を満たし、面積は $xy$ に正定数 $\sin\theta/2$ を掛けたものなので、$OP=OQ$ のとき最大。

(4) $PQ=d$ を一定とすると、余弦定理から
$$d^2=(x-y)^2+2(1-\cos\theta)xy.$$
$0<\theta<\pi$ より $1-\cos\theta>0$ なので
$$xy\leqq\frac{d^2}{2(1-\cos\theta)}.$$
等号は $x=y=d/\sqrt{2(1-\cos\theta)}$ とすれば実現できる。面積は $xy$ に正定数 $\sin\theta/2$ を掛けたものなので、最大となるのは $OP=OQ$ のとき。