1滋賀医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) 一の位は $10$ で割った余りで決まる。$2^n$ の一の位は $2,4,8,6$ の順に $4$ 周期で繰り返すので、一の位が $2$ となるのは $n\equiv 1\pmod 4$ のときである。範囲 $2\leqq n\leqq100$ では $n=5+4k\ (k=0,1,\ldots,23)$ となるから、$24$ 個である。
(2) 十の位は $100$ で割った余りで決まる。$n\geqq2$ では
$$6^{n+5}-6^n=6^n(6^5-1)=7775\cdot 6^n$$
であり、$7775$ は $25$ の倍数、$6^n$ は $4$ の倍数だから、右辺は $100$ の倍数である。よって $6^n$ の下二桁は $5$ 周期である。$n=2,3,4,5,6$ のとき下二桁はそれぞれ $36,16,96,76,56$ だから、十の位が $3$ となるのは $n\equiv2\pmod5$ のときである。範囲内では $n=2+5k\ (k=0,1,\ldots,19)$ となり、$20$ 個である。
(3) 整数 $N\geqq2$ の素因数分解における指数の最大公約数を $r$ とすると、$N=c^r$ と書ける。ただし $c$ の素因数分解の指数の最大公約数は $1$ であり、この $c$ は一意に定まる。以下、この $c$ を「原始底」と呼ぶ。原始底とは、ある整数 $g$ と $k\geqq2$ を用いて $g^{k}$ の形に書けない $2$ 以上の整数のことである。$n=c^r,\ m=d^s$ とする。
$\log_n m$ が有理数なら、正の整数 $a,b$ を用いて $\log_n m=a/b$ と書けるので、$n^a=m^b$ である。素因数ごとの指数を比べると、$c$ と $d$ の素因数の指数列は有理数倍の関係にある。両方の指数の最大公約数が $1$ なので指数列は一致し、$c=d$ となる。逆に $c=d$ なら $\log_n m=s/r$ は有理数である。したがって、同じ $c$ をもつ $n,m$ の組を数えればよい。
$c\leqq10$ の原始底は $2,3,5,6,7,10$ であり、それぞれ $c^j\leqq100$ を満たす正の整数 $j$ の個数は $6,4,2,2,2,2$ である。この部分の組数は
$$6^2+4^2+2^2+2^2+2^2+2^2=68$$
である。$11\leqq c\leqq100$ の $90$ 個の整数のうち、原始底でない完全累乗は $16,25,27,32,36,49,64,81,100$ の $9$ 個である。したがって原始底は $90-9=81$ 個あり、各底からは $(n,m)=(c,c)$ の $1$ 組ずつ生じる。よって総数は $68+81=149$ 組である。