3滋賀医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 円上の点を
$$z=\frac{\sqrt6}{2}e^{i\theta}\quad(0\leqq\theta<2\pi)$$
とおく。このとき
$$2z+\frac3z=\sqrt6e^{i\theta}+\sqrt6e^{-i\theta}=2\sqrt6\cos\theta, \qquad w=24\cos^2\theta.$$
$0\leqq\cos^2\theta\leqq1$ であり、そのすべての値をとるので、点$w$は実軸上で$0\leqq w\leqq24$を満たす線分を描く。両端の点を表す複素数は$0,24$である。

(2) $z=e^{i\theta}$ とおくと
$$2z+\frac3z=2e^{i\theta}+3e^{-i\theta}=5\cos\theta-i\sin\theta.$$
$w=u+iv$（$u,v$は実数）とすると、
$$u=25\cos^2\theta-\sin^2\theta=12+13\cos2\theta, \qquad v=-10\cos\theta\sin\theta=-5\sin2\theta.$$
したがって
$$\left(\frac{u-12}{13}\right)^2+\left(\frac v5\right)^2=1.$$
$2\theta$は一周するので、これは中心$(12,0)$、長半径$13$、短半径$5$の楕円全体である。焦点までの距離は$\sqrt{13^2-5^2}=12$だから、焦点を表す複素数は$12-12=0,\ 12+12=24$である。

(3) 直線$\ell$上の原点以外の点は、実数$t\ne0$を用いて$z=t(a+i)$と表せる。$B=a^2+1$とおけば
$$2z+\frac3z=\left(2at+\frac{3a}{Bt}\right)+i\left(2t-\frac3{Bt}\right).$$
$w=u+iv$とすると、実部と虚部を計算して
$$u=4(a^2-1)t^2+12+\frac{9(a^2-1)}{B^2t^2}, \qquad v=8at^2-\frac{18a}{B^2t^2}.$$
ここで$X=4t^2,\ Y=9/(B^2t^2)$とおくと、$X,Y>0$、$XY=36/B^2$であり、
$$u-12=(a^2-1)(X+Y),\qquad v=2a(X-Y).$$
よって
$$\frac{(u-12)^2}{(a^2-1)^2}-\frac{v^2}{4a^2} =(X+Y)^2-(X-Y)^2=4XY=\frac{144}{B^2},$$
すなわち
$$\frac{(u-12)^2}{\left(\dfrac{12(a^2-1)}{a^2+1}\right)^2} -\frac{v^2}{\left(\dfrac{24a}{a^2+1}\right)^2}=1.$$
これは中心$(12,0)$の双曲線であり、$a>1$なら右枝、$0<a<1$なら左枝を動く。横方向の半軸の長さを$p=12|a^2-1|/(a^2+1)$、共役軸の半分の長さを$q=24a/(a^2+1)$とすると、焦点までの距離は
$$\sqrt{p^2+q^2}=\frac{12}{a^2+1}\sqrt{(a^2-1)^2+4a^2}=12.$$
したがって焦点を表す複素数は$12-12=0,\ 12+12=24$である。