4佐賀大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)
方程式 $|z-1|=\sqrt{2}$ を満たす点 $z$ は、点 $1$ からの距離が $\sqrt{2}$ である点の全体であるから、中心 $1$、半径 $\sqrt{2}$ の円を表す。
$\alpha=x+yi$（$x$、$y$ は実数）とおく。$|\alpha|=2$ より $x^{2}+y^{2}=4$ なので、$-2\leqq x\leqq 2$ である。$d=|\alpha-1|$ とおくと
$$d^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}-2x+1=5-2x$$
であり、$-2\leqq x\leqq 2$ より $1\leqq d^{2}\leqq 9$、すなわち $1\leqq d\leqq 3$ である。
二つの円（中心 $1$、半径 $\sqrt{2}$ と、中心 $\alpha$、半径 $\sqrt{5}$）が 2 点で交わるための条件は、中心間の距離 $d$ が $\sqrt{5}-\sqrt{2}<d<\sqrt{5}+\sqrt{2}$ を満たすことである。$\sqrt{5}-\sqrt{2}<1$ は、$\sqrt{5}<1+\sqrt{2}$ の両辺を 2 乗した $5<3+2\sqrt{2}$、すなわち $1<\sqrt{2}$ から成り立つ。また $\sqrt{5}+\sqrt{2}>2+1=3$ である。よって
$$\sqrt{5}-\sqrt{2}<1\leqq d\leqq 3<\sqrt{5}+\sqrt{2}$$
となり、二つの円は 2 点で交わる。したがって、(1) と (2) を満たす $z$ の個数は 2 個である。

(2)
$|z-1|^{2}=2$ より $(z-1)(\overline{z}-1)=2$ であるから、
$$z\overline{z}-z-\overline{z}=1$$
である。
$|z-\alpha|^{2}=5$ より $(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})=5$ であり、$\alpha\overline{\alpha}=|\alpha|^{2}=4$ を用いると
$$z\overline{z}-z\overline{\alpha}-\overline{z}\alpha=1$$
である。前の式からこの式を引くと
$$-z-\overline{z}+z\overline{\alpha}+\overline{z}\alpha=0$$
となる。これを整理すると
$$\overline{z}(\alpha-1)+z(\overline{\alpha}-1)=0$$
が成り立つ。

(3)
$w=\alpha-1$ とおく。$\alpha\ne 1$ なので $w\ne 0$ である。(2) の式は $\overline{z}w+\overline{\overline{z}w}=0$ と書けるので、$\overline{z}w$ は純虚数である。$\overline{z}w$ が純虚数であることと、$z=ki\,w$（$k$ は実数）と書けることは同じであるから、(2) の式を満たす点はすべて、原点 O を通る直線 $z=ki\,w$ 上にある。
$\beta$、$\gamma$ はこの直線上にあるので、2 点 B、C と原点 O は一直線上にある。
次に $|\gamma|$ を求める。$u=\dfrac{i\,w}{|w|}$ とおくと $|u|=1$ であり、$\beta=r_{1}u$、$\gamma=r_{2}u$（$r_{1}$、$r_{2}$ は実数で $r_{1}\ne r_{2}$）と書ける。$z=ru$（$r$ は実数）を $|z-1|^{2}=2$ に代入すると
$$(ru-1)(r\overline{u}-1)=2$$
であり、$u$ の実部を $p$ とおくと、$|u|=1$ より
$$r^{2}-2pr-1=0$$
となる。$r_{1}$、$r_{2}$ はこの二次方程式の異なる 2 解であるから、解と係数の関係より $r_{1}r_{2}=-1$ である。よって $|\beta|\,|\gamma|=|r_{1}r_{2}|=1$ となり、$|\beta|=b$ より
$$|\gamma|=\dfrac{1}{b}$$
である。