4鹿児島大学 2024年 数学 第4問解答・解説

放物線は $x=y^2+\frac34$ と表せる。

(1) 原点を通る傾き $m>0$ の直線を $y=mx$ とおく。放物線との交点の $y$ 座標は
$$my^2-y+\frac{3m}{4}=0$$
を満たす。接する条件は判別式が零であることだから $1-3m^2=0$、よって $m=1/\sqrt3$。重解 $y=1/(2m)=\sqrt3/2$、$x=y/m=3/2$ より
$$\ell:\ y=\frac{x}{\sqrt3},\qquad A=\left(\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

(2) 円の中心はAを通り $\ell$ に垂直な直線上にある。$\ell$ の方向ベクトルを $(\sqrt3,1)$ とし、垂直方向 $(1,-\sqrt3)$ を使って中心を
$$S=\left(\frac32+t,\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3t\right)$$
とおく。半径は $2|t|$。放物線上の点を $y=\sqrt3/2+u$ とおくと $x=3/2+\sqrt3u+u^2$ であり、円との共有条件を代入して整理すると
$$u^2\left(u^2+2\sqrt3u+4-2t\right)=0.$$
$u=0$ はAである。A以外の共有点がちょうど一つとなるには、二次式が0でない重解をもつか、0と0でない解をもつ必要がある。前者は判別式 $8t-4=0$、すなわち $t=1/2$ で、重解は $u=-\sqrt3$。後者は $4-2t=0$、すなわち $t=2$ で、二次式は $u(u+2\sqrt3)$ となる。したがって求める二円は
$$(x-2)^2+y^2=1,\qquad \left(x-\frac72\right)^2+\left(y+\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2=16.$$

(3) $0\leqq y\leqq\sqrt3/2$ で、放物線の $x$ 座標から直線 $\ell$ の $x$ 座標を引いた差は
$$y^2+\frac34-\sqrt3y=\left(y-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2.$$
よって囲まれた面積は
$$\int_0^{\sqrt3/2}\left(y^2+\frac34-\sqrt3y\right)dy =\frac{\sqrt3}{8}.$$

放物線をxについて解いて、原点を通る直線の接線条件を二次方程式の判別式で求める。円の中心を接点の法線上に置いて共有条件を因数分解すれば、円と放物線の交点数はパラメータの二次式の実根の個数に帰着する。面積はy方向に積分する。