1佐賀大学 2024年 数学 第1問解答・解説

平面上に $OA=4$、$OB=\sqrt{2}$ を満たす $\triangle OAB$ がある。頂点 $B$ から直線 $OA$ に下ろした垂線を $BC$ とする。また、頂点 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線を $OD$ とする。このとき、点 $C$ は辺 $OA$ を $1:3$ に内分しているとする。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおくとき、次の問に答えよ。

(1) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めよ。

(2) 実数 $s,t$ を用いて $\overrightarrow{OD}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の形に表すとき、$s$ と $t$ の値を求めよ。さらに、$|\overrightarrow{OD}|$ の値を求めよ。

(3) 直線 $BC$ と直線 $OD$ の交点を $P$ とするとき、$|\overrightarrow{OP}|$ の値を求めよ。