2佐賀大学 2024年 数学 第2問解答・解説

奇数の目 1,3,5 はそれぞれ +x に進むので3通り、2,4 は -x に進むので2通り、6 は +y に進む1通りである。

(1) y=n-1 となるには6が n-1 回、残る一回は +x の目である。位置を n 通り、目を3通り選ぶので 3n 通り。

(2) y=n-2 なら6以外がちょうど2回。x=0 にするには、一方が +x、他方が -x となる必要がある。+x の回を n 通り、-x の回を残り n-1 通りから選び、各目は3通りと2通りだから
$$n(n-1)\cdot3\cdot2=6n(n-1).$$

(3) 6以外の回数を k とすると y=n-k で、条件から k=0,1,2 のみ。
k=0 は1通り。k=1 は残る目が +x なので 3n 通り。
k=2 は位置を ${}_{n}\mathrm{C}_{2}$ 通りに選ぶ。二つの目がともに +x の場合は9通り、一方ずつ +x,-x の場合は順序2通りと目の選択3$\cdot$2通りで12通り。二つとも -x は x<0 なので除く。従って
$$1+3n+21\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{2} =1+3n+\frac{21}{2}n(n-1)$$
通り。