3佐賀大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

曲線の定義域は $x\geqq0$ である。$x>0$ では
$$f'(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}>0,\qquad f''(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x^{3/2}}.$$
よって曲線は全域で単調増加し、$0<x<1$ では上に凸、$x>1$ では下に凸である。$x=1$ の前後で凹凸が変わり、変曲点は $(1,\,e)$ である。また $f(0)=1$、$x\to0+$ で $f'(x)\to+\infty$ だから、グラフは $(0,\,1)$ から右上へ立ち上がる。

(2)

接点の $x$ 座標を $a$ とする。直線 $y=kx$ が曲線に接する条件は $f(a)=ka$、$f'(a)=k$ である。$a>0$ より、
$$\dfrac{e^{\sqrt{a}}}{a}=\dfrac{e^{\sqrt{a}}}{2\sqrt{a}}\quad\text{より}\quad a=2\sqrt{a}\quad\text{より}\quad a=4.$$
したがって $k=f'(4)=\dfrac{e^{2}}{4}$、$P=(4,\,e^{2})$ である。

(3)

面積を求めるため、$0<x<4$ で曲線が直線より上にあることを確かめる。$t=\sqrt{x}$ とおくと $0<t<2$ であり、
$$\left(\dfrac{e^{t}}{t^{2}}\right)'=\dfrac{e^{t}(t-2)}{t^{3}}<0.$$
よって $\dfrac{e^{t}}{t^{2}}>\dfrac{e^{2}}{4}$、すなわち $e^{\sqrt{x}}>\dfrac{e^{2}}{4}x$ である。$x=0$ でも曲線の値は $1$、直線の値は $0$ だから、求める面積は
$$\begin{aligned} S&=\displaystyle\int_{0}^{4}\left(e^{\sqrt{x}}-\dfrac{e^{2}}{4}x\right)dx\\ &=2\displaystyle\int_{0}^{2}te^{t}\,dt-\dfrac{e^{2}}{4}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}\\ &=2\left[(t-1)e^{t}\right]_{0}^{2}-2e^{2}=2. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^4\left(e^{\sqrt{x}}-\frac{e^2}{4}x\right)dx$$$$=2{\int }_0^{2}t{e}^{t}dt-\frac{e^2}{4}{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4$$$$=2{\left[(t-1)e^t\right]}_0^2-2e^2=2.$$