3佐賀大学 2023年 数学 第3問解答・解説

係数が実数であり，$\alpha,\beta$ は非実数の解なので，この2解は互いに共役である。$\alpha=u+vi,\ \beta=u-vi$（$u,v$ は実数，$v\ne0$）とおく。

(1) 解と係数の関係から，$\alpha+\beta=-a$ である。また，2解の積を含む2次式は$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=x^2+ax+\alpha\beta$ となる。したがって
$$f(x)=(x^2-6)(x^2+ax+\alpha\beta).$$
これを展開して係数を比べると，$b=\alpha\beta-6$，$c=-6a$，$d=-6\alpha\beta$ である。よって$\alpha\beta=b+6$，$c=-6a$，$d=-6(b+6)$ を得る。

(2) 複素数平面で$A=(u,v)$，$B=(u,-v)$ であるから，$v\ne0$ より直線$AB$ は$x=u$ である。$C=(-\sqrt6,0)$ がこの直線上にある条件は$u=-\sqrt6$ である。このとき$\alpha+\beta=2u=-2\sqrt6=-a$ より$a=2\sqrt6$。

(3) (2)より$u=-\sqrt6$ であり，$D=(\sqrt6,0)$ である。各辺の長さの2乗は
$$AB^2=(2v)^2=4v^2,\qquad AD^2=(u-\sqrt6)^2+v^2=24+v^2,\qquad BD^2=24+v^2.$$
したがって$AD=BD$ は常に成り立ち，正三角形となる条件は$AB^2=AD^2$ である。よって$4v^2=24+v^2$，すなわち$v^2=8$。このとき$\alpha\beta=u^2+v^2=6+8=14$ なので，(1)の$\alpha\beta=b+6$ から$b=8$ を得る。

確認として，$a=2\sqrt6, b=8$ のとき2次因子は$x^2+2\sqrt6x+14$ であり，その解は$-\sqrt6\pm2\sqrt2i$ となる。これらを頂点とする$A,B,D$ の各辺の長さは$4\sqrt2$ で，正三角形の条件と一致する。