琉球大学 2023年数学第4問解答・解説

1問題

琉球大学2023年度第4問

1個のさいころを6の目が2回出るまで投げ続ける。

k=1,2,3,\cdots

に対して

p_k

を

k+1

回目に2回目の6の目が出る確率とするとき、次の問いに答えよ。（50点）
問1

p_k

を求めよ。
問2

p_k

を最大にする

k

の値を求めよ。
問3

\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}p_k

を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

第

k+1

回目が2度目の6になるには、最初のk回に6がちょうど1回、その後に6が出る必要がある。6の位置はk通りなので

p_k=k\cdot\frac16\left(\frac56\right)^{k-1}\cdot\frac16=\frac{k}{36}\left(\frac56\right)^{k-1}.

次項との比は

p_{k+1}/p_k=5(k+1)/(6k)

。k<5では1より大きく、k=5で等しく、k>5では1より小さい。よって最大はk=5,6の両方で、値は

3125/46656

。

S_n

は第n+1回までに6が2回以上出る確率である。余事象は0回または1回であり、従って

S_n=1-\left(\frac56\right)^{n+1}-(n+1)\frac16\left(\frac56\right)^n=1-\frac{n+6}{6}\left(\frac56\right)^n.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。